Bemerkung zum Studyschen projektiven Bogenelement. (Q1449261)

Verf. betrachtet das \textit{Study}sche Differential \[ dw=\frac{\root3\of{\psi(t)}}{(x'', x', x)}\,dt, \] wobei \(\psi = 0\) die Differentialgleichung der Kegelschnitte bedeutet, in speziellen Fällen. Ist \(a_x^n = 0\) die Gleichung einer singularitätenfreien Kurve \(n\)-ter Ordnung, \(H = 0\) die \textit{Hesse}sche, \(S = 0\) diejenige Kurve, die die sextaktischen Punkte auf \(a_x^n = 0\) ausschneidet, und \(c\) ein willkürlicher Punkt, so wird \[ dw=\frac{\root3\of{S}}H \frac{(c, x, dx)}{a_ca_x^{n-1}}\,. \] In der Parameterdarstellung einer Kurve dritter Ordnung durch das zugehörige elliptische Integral erster Gattung wird \[ dw = \root3\of{\wp'(3u)}\, du. \] Dieses Differential läßt sich in ein elliptisches umformen, das zu einem äquianharmonischen elliptischen Gebilde gehört. Zum Schluß wird die projektive Bogenlänge des Ovals einer Kurve dritter Ordnung zwischen zwei aufeinanderfolgenden sextaktischen Punkten durch ein elliptisches Integral erster Gattung ausgedrückt. (V 5 C.)