Sur les théorèmes d'existence de la théorie du plan osculateur. (Q1449277)

Verf. stellt die Theorie der Schmiegebene in einer Form dar, die das Minimum an Voraussetzungen erfordert. Der Untersuchung zugrunde gelegt werden Raumkurven \(\mathfrak x = \mathfrak x(t)\) mit folgenden Eigenschaften: Es existieren die beiden Ableitungen \(\dot{\mathfrak x}(t)\) und \(\ddot{\mathfrak x}(t)\) (\(\ddot{\mathfrak x}(t)\) braucht nicht stetig zu sein); in dem betrachteten Kurvenstück sei \(\dot{\mathfrak x}\neq 0\), und \(\dot{\mathfrak x}\times\ddot{\mathfrak x}\) verschwinde darin nur an endlich vielen Stellen, den Ausnahmepunkten. Verf. gibt für die Schmiegebene vier verschiedene Definitionen. Im Falle eines Kurvenpunktes, der kein Ausnahmepunkt ist, sind diese vier Definitionen äquivalent und führen stets auf eine bestimmte Schmiegebene; für Ausnahmepunkte stellt Verf. Existenzsätze auf. Bemerkenswert ist, daß für die stetige Abhängigkeit der Schmiegebene vom Kurvenparameter eine schwachere Bedingung hinreicht als die der Stetigkeit von \(\ddot{\mathfrak x}(t)\) und daß die Torsion auch dann existieren kann, wenn \(\ddot{\mathfrak x}(t)\) nicht differenzierbar ist. Schließlich gibt Verf. mehrere notwendige und hinreichende Bedingungen an, unter denen der Satz gilt: Die Schmiegebene im Punkte \(M\) wird von der unendlich benachbarten Schmiegebene in der Tangente durch \(M\) geschnitten.