Aufgabe 577 im Archiv der Mathematik und Physik, Bd. 28 (1920), S. 171. Lösung von W. Fiebig. (Q1449301)

Die Aufgabe lautet: Es sei \(K\) das \textit{Gauß}sche Krümmungsmaß einer analytischen Fläche, \(\omega\) der Winkel eines krummlinigen Koordinatennetzes \((u, v)\) auf ihr, \(g_u\) die geodätische Krümmung der Kurve \(u = \text{const}\), \(g_v\) ebenso für die Kurve \(v = \text{const}\), alles genommen für denselben Punkt \((u, v)\) der Fläche; dann gilt die folgende Formel, in der nur Invarianten auftreten: \[ \begin{aligned} K&\sin^2\omega=\left[\frac12\left(\frac{\partial}{\partial s_1} \frac{\partial\omega}{\partial s_2} +\frac{\partial}{\partial s_2} \frac{\partial\omega}{\partial s_1}\right) -\frac{\partial g_u}{\partial s_1} - \frac{\partial g_v}{\partial s_2}\right]\sin\omega \\ &{}+\left(g_v -\frac{\partial\omega}{\partial s_1} +\cos\omega \left(g_u -\frac{\partial\omega}{\partial s_2}\right)\right) \left(\frac12\frac{\partial\omega}{\partial s_1} -g_v\right) \\ &{}+\left(g_u -\frac{\partial\omega}{\partial s_2} +\cos\omega \left(g_v -\frac{\partial\omega}{\partial s_1}\right)\right) \left(\frac12\frac{\partial\omega}{\partial s_2} -g_u\right), \end{aligned} \] worin \[ \frac{\partial}{\partial s_1} =\frac1{\sqrt E}\frac\partial{\partial u}\,, \quad \frac{\partial}{\partial s_2} =\frac1{\sqrt G}\frac\partial{\partial v} \] die geometrischen Ableitungen nach den Bogenlängen der Koordinatenlinien bedeuten. Diese Formel ist zu beweisen. Für ein orthogonales Kurvennetz \(\left(\omega=\dfrac\pi2\right)\) geht sie in die bekannte, ebenfalls invariante \textit{Bonnet}sche Formel \[ K=-\frac{\partial g_u}{\partial s_1} -\frac{\partial g_v}{\partial s_2} -g_u^2-g_v^2 \] über. Die zu beweisende Formel muß mit der \textit{Liouville}schen identisch sein: \[ K\sqrt{EG-F^2}=\frac{\partial^2\omega}{\partial u\partial v} +\frac{\partial}{\partial u} \left(g_u\sqrt G\right) +\frac{\partial}{\partial v} \left(g_v\sqrt E\right), \] die freilich nicht in invarianter Form erscheint.