Flächen mit drei ausgezeichneten Systemen geodätischer Linien, die sich zu einem Dreiecksnetz verknüpfen lassen. (Q1449316)

Ein geodätisches Dreiecksnetz besteht aus drei Systemen geodätischer Linien, die ein Dreiecksnetz bilden, bei dem in jedem Knotenpunkt sechs Dreiecke zusammentreffen. Es wird die Mannigfaltigkeit sämtlicher Flächen, auf denen solche Dreiecksnetze möglich sind, untersucht. Dazu wird folgende charakteristische Eigenschaft der Dreiecksnetze aufgestellt: Sie haben die Mannigfaltigkeit von drei willkürlichen Funktionen einer Veränderlichen. Die eine willkürliche Funktion regelt die Aufeinanderfolge der Knotenpunkte auf einer der geodätischen Netzkurven, die beiden anderen bestimmen die Winkel, unter denen diese Kurve in den Knotenpunkten von den beiden anderen geschnitten werden. Ferner werden Untersuchungen über die Existenz der Netze angestellt Bisher unbekannte Netze finden sich auf Drehflächen, welche neben den drehsymmetrischen, geodätischen Dreiecksnetzen noch zwei singuläre geodätische Dreiecksnetze tragen. Sie werden von drei Systemen kongruenter, nach Logarithmen des Drehwinkels aufeinander folgender Kurven erzeugt. -- Die Dreiecksnetze lassen noch eine merkwürdige Verallgemeinerung zu, wenn man anstelle der Drehflächen Flächen allgemeinerer Art, Spiralflächen, nimmt. Die erzeugende Kurve dieser Flächen wird proportional der Drehung einer Ähnlichkeitstransformation hinsichtlich eines festen Punktes auf der Drehachse unterworfen. -- Es gibt Spiralflächen, auf denen ein geodätisches Dreiecksnetz existiert, welches von drei Systemen ähnlicher Kurven, die nach Logarithmen des Drehwinkels aufeinander folgen, gebildet wird. Man unterscheidet drei Gattungen von Spiralflächen.