Sulle superficie deformabili al modo di Bonnet. (Q1449349)

Es werden alle Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung gesucht, die sich so deformieren lassen, daß alle Familien von Trajektorien, die die Krümmungslinien isogonal schneiden, in Krümmungslinien übergehen. (Deformation von \textit{Bonnet}). -- Dazu wird folgendes Theorem abgeleitet: Wenn eine reelle Fläche \(S\) sich so deformieren läßt, daß (1) ihre Krümmungslinien Krümmungslinien bleiben und daß (2) drei Familien von Trajektorien, die die Krümmungslinien isogonal schneiden, auf zweifache Art in Krümmungslinien auf der deformierten Fläche übergehen, so hat \(S\), wenn sie keine abwickelbare Fläche und keine Fläche konstanter Gesamtkrümmung ist, eine konstante mittlere Krümmung. -- Das Problem, alle derartigen Flächen zu finden, hängt von der Existenz der gemeinsamen Lösung zweier Differentialgleichungen vom \textit{Riccati}schen Typ mit einer unbekannten Funktion ab. Wenn die Integrabilitätsbedingungen identisch erfüllt sind, ist die Fläche abwickelbar; im entgegengesetzten Falle wird die unbekannte Funktion durch eine Gleichung zweiten Grades bestimmt. Befriedigt nur eine Lösung dieser Gleichung das System, so gelangt man zu Flächen mit konstanter Gesamtkrümmung. Wenn beide Wurzeln das System befriedigen, d. h. wenn es zwei Deformationen gibt, die jede Familie isogonaler Trajektorien der Krümmungslinien in Krümmungslinien überführen, so ist die Fläche von konstanter mittlerer Krümmung. Liegt eine Rotationsfläche vor, so gelangt man von dem speziellen System, das die Deformation bestimmt, zu dem Satz von \textit{Bianchi}: Wenn eine Rotationsfläche so deformiert wird, daß eine Familie von isogonalen Trajektorien der Meridiane in Krümmungslinien übergeht, so haben auch alle anderen Familien von isogonalen Trajektorien diese Eigenschaft. Die Fläche selbst ist dann entweder abwickelbar, oder ihre Gesamtkrümmung ist konstant, oder sie ist eine Fläche von \textit{Delaunay}.