A characteristic property of minimal surfaces. (Q1449352)

Wird um einen beliebigen Punkt einer Fläche \(\varSigma\) mit den Hauptkrümmungen \(\dfrac1{R_1}\) und \(\dfrac1{R_2}\) eine kleine Kugel mit dem Radius \(r\) beschrieben, und ist \(V\) ihr Volumen, \(\eta\) der Unterschied der Flächeninhalte der beiden Teile, in die ihre Oberfläche durch \(\varSigma\) zerlegt wird, \(v\) die Differenz der Volumina der beiden Teile, so gilt: \[ \lim_{r\to 0}\frac{\eta}V=\frac34\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right),\quad \lim_{r\to 0}\frac v{rV}=\frac3{16}\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right). \] Für eine Minimalfläche sind also die beiden Kugelhälften in höherer Näherung gleich.