Courbure et torsion des courbes d'un complex linéaire ou non linéaire. (Q1449384)

Die Integralkurven eines linearen Komplexes \(C\) durch einen Punkt \(P\) haben bekanntlich in \(P\) sämtlich dieselbe Torsion \(\varTheta\); Verf. nennt \(\varTheta\) die Torsion von \(C\) in \(P\). Der Winkel zwischen zwei benachbarten Erzeugenden \(PT\), \(PT'\) eines Kegels mit der Spitze \(P\) sei \(\varDelta \varphi\) und \(\varDelta\vartheta\) der Winkel zwischen den durch \(PT\) und \(PT'\) gehenden Tangentialebenen des Kegels; \(\varrho=\lim\limits_{\varDelta \varphi\to 0}\dfrac{\varDelta\vartheta}{\varDelta\varphi}\) heißt die Krümmung des Kegels längs \(PT\). Verf. beweist die folgende Beziehung: Es sei \(r\) die Krümmung und \(t\) die Torsion im Punkte \(P\) einer durch \(P\) in Richtung der Komplexgeraden \(PT\) gehenden Integralkurve eines beliebigen Komplexes; ferner sei \(\varrho\) die Krümmung längs \(PT\) des von den Komplexgeraden durch \(P\) erzeugten Kegels und \(\varTheta\) die Torsion des linearen Schmiegungskomplexes durch \(PT\). Dann gilt \[ t=\varTheta\pm \varrho r. \] Hieraus folgt unmittelbar eine von \textit{E. Lainé} (Nouv. Ann. de Math. (5) 3 (1925), 300-308; F. d. M. 51, 560 (JFM 51.0560.*)) bewiesene Umkehrung des anfangs genannten Satzes über lineare Komplexe.