On conformal geometry. (Q1449416)

Wird eine Mannigfaltigkeit mit dem metrischen Fundamentaltensor \(g_{\alpha\beta}\) konform transformiert derart, daß also \(g_{\alpha\beta}\) durch \(\sigma(x)g_{\alpha\beta}\) ersetzt wird, so bleibt die Tensordichte \[ G_{\alpha\beta}=\frac{g_{\alpha\beta}}{|g_{\gamma\delta}|^{\frac 1n}} \] vom Gewicht \(\dfrac 2n\) ungeändert. Deshalb verwendet Verf. \(G_{\alpha\beta}\) als konformen Fundamentaltensor und entwickelt die konforme Geometrie als Invariantentheorie dieses Fundamentaltensors. Differentiation der Transformationsgleichungen für \(\overline G_{\mu\nu}\) liefert zunächst \textit{J. M. Thomas}' konforme Zusammenhangskomponenten \(K_{\alpha\beta}^i\) und den mit diesen gebildeten Äquikonformkrümmungstensor \[ F_{\alpha\beta\gamma}^\xi=\frac {\partial K_{\alpha\beta}^\xi} {\partial x^\gamma} -\frac{\partial K_{\alpha\beta}^i}{\partial x^\beta}+ K_{\nu\gamma}^\xi K_{\alpha\beta}^\nu-K_{\alpha\beta}^\xi K_{\alpha\gamma}^\nu \] (vgl. \textit{J. M. Thomas}, Proceedings USA Academy 11 (1925) 257-259; F. d. M. 51, 569 (JFM 51.0569.*)) sowie dessen Verjüngungen \(F_{\mu\nu},F\). Mit Hilfe geeignet definierter ``assoziierter'' Differentialformen und ``assoziierter'' Zusammenhangskomponenten gewinnt Verf. den Tensor \[ {}^\circ B_{k\alpha\beta}^i=\frac{\partial ^\circ \varGamma_{k\alpha}^i} {\partial x^\beta}-\frac{\partial ^\circ \varGamma_{k\beta}^i} {\partial x^\alpha} +{}^\circ\varGamma_{j\beta}^i{}^\circ\varGamma_{k\alpha}^j -{}^\circ \varGamma_{j\alpha}^i{}^\circ \varGamma_{k\beta}^j \] wobei unter Hinzunahme einer weiteren Variablen die ursprünglich zugrunde liegende Transformationsgruppe \(\mathfrak G\) in einer gewissen (speziellen) Art und Weise erweitert wird. Ein Teil der Komponenten von \({}^\circ B_{k\alpha\beta}^i\) besitzt Tensoreigenschaft gegenüber \(\mathfrak G\). Man kommt so auf den \textit{Weyl}schen Konformkrümmungstensor \(Y_{\alpha\beta\gamma}^i\) zurück, welcher für \(n < 4\) stets verschwindet.