Sur l'écart géodésique. (Q1449425)

Ziel der Entwicklungen des Verf. ist die Verallgemeinerung der bekannten flächentheoretischen Formel \[ \frac{d^2 y}{ds^2}+Ky=0, \] die für den senkrechten Abstand \(y\) eines Punktes einer beliebigen geodätischen Linie von einer unendlich benachbarten, fest angenommenen Geodätischen gilt, auf beliebige \textit{Riemann}sche Räume. Zu diesem Zwecke gibt Verf. zunächst eine eingehende, wünschenswert exakte Diskussion der Einführung \textit{Riemann}scher Normalkoordinaten, diskutiert hierauf ebenso gründlich ein von \textit{Fermi} (Rendiconti Accad. d. L. Roma (5) 21 (1912), 21-23) angegebenes, längs einer Kurve \(C\) ``lokalcartesisches'' Koordinatensystem, das durch das Nullwerden sämtlicher \textit{Christoffel}symbole längs \(C\) gekennzeichnet ist, wobei der Fall \(C=\) geodätische Linie eine besondere Hervorhebung erfährt. Endlich werden unter Benutzung von \textit{Fermi}s Koordinaten die gesuchten Gleichungen erhalten und in invarianter Form geschrieben. In der einfachsten Gestalt lassen sie sich -- unter Benutzung der jetzt meist üblichen Bezeichnungen -- so schreiben: \[ (D^2\xi)^r + R_{i,hk}^rb^ib^h\xi^k = 0. \] Dabei liegt wieder eine feste geodätische Linie \(g_0\) zugrunde, deren tangentialer Einheitsvektor die Komponenten \(b^i\) besitzt; \(\xi\) ist der zu \(g_0\) senkrechte Vektor zu einem Punkte einer benachbarten geodätischen Linie; mit \(D\) ist schließlich kovariante Differentiation längs \(g_0\) bezeichnet.