Sopra alcune proprietà degli spazi per i quali si anullano i simboli di Riemann a cinque indici. (Q1449433)

Die Kanonisierung der metrischen Fundamentalform \textit{Riemann}scher Mannigfaltigkeiten mit identisch verschwindenden \textit{Riemann}schen ``Fünfzeigersymbolen'' \(R_{hijk,l}\), d. h. kovarianten ersten Ableitungen der Krümmungskomponenten \(R_{hijk}\) \[ ds^2 = \sum_{\alpha=1}^m d\sigma_\alpha^2 \] (vgl. vorstehendes Referat) führt auf weitere bemerkenswerte Eigenschaften dieser Mannigfaltigkeiten. Eine solche ist: Die Klasse von \(ds^2\) ist durch die Zahl der Teilformen \(d\sigma_\alpha^2\) mit nichtverschwindender Krümmung gegeben. Ferner gilt z. B: Die Zahl und die Dimensionen der Teilformen in der kanonischen Darstellung ist durch die Zahl und die Vielfachheiten der \textit{Ricci}schen Hauptkrümmungen gegeben. Insbesondere haben \textit{Einstein}sche Räume (in welchen die ``Gravitationsgleichungen'' gelten) mit \(R_{hijk,l}= 0\) notwendig konstante Krümmung. Die Verwendung der \textit{Weyl}schen und \textit{Brinkmann}schen Untersuchungen über konforme Abbildung \textit{Riemann}scher Mannigfaltigkeiten zeigt in diesem Zusammenhang noch folgendes: Für eine konforme Abbildung zweier Räume (nichtkonstanter Krümmung) mit \(R_{hijk,l}'= 0\) aufeinander ist notwendig und hinreichend, daß jede ihrer Fundamentalformen höchstens durch die Summe zweier Formen gegeben ist (\(m\leqq 2\)); wenn einer der beiden Räume euklidisch ist, wird \(m=2\) erreicht.