Über ametrische Mannigfaltigkeiten und quadratische Differentialformen mit verschwindender Diskriminante. (Q1449444)

Die Berücksichtigung imaginärer Elemente im Aufbau geometrischer Theorien erfuhr vor allem durch \textit{E. Study}s Forschungsprinzipien und Methoden eine stärkere Entwicklung. Ihr Nutzen liegt in verschiedener Richtung: Sie erspart (1) die Formulierung zahlreicher ``Ausnahmetheoreme'', sofern sich viele geometrische Eigenschaften reell getrennter Natur auf komplexem Gebiet einheitlich zusammenfassen lassen, sie wird (2) fruchtbar für die Theorie der analytischen Funktionen, wie etwa die \textit{Weierstraß}sche Behandlung der Minimalflächen zeigt, und sie ist schließlich (3) eine Konsequenz, welche die anthropomorphe Bevorzugung des euklidischen Raumes nach sich zieht, dessen reelle ``anschauliche'' Metrik von den imaginären Invarianten der Bewegungsgruppe erzeugt wird. Während die Theorie ``des absoluten Kegelschnittes'' bereits für \textit{Laguerre}s Winkeldefinition und die projektive Begründung der nichteuklidischen Geometrie grundlegend war, macht sich ihr Einfluß in der Differentialgeometrie erst seit \textit{Lie}s und \textit{Study}s Untersuchungen stärker bemerkbar. Reduziert man die betreffenden Fragestellungen auf ein analytisches Problem und beschränkt sich auf den dreidimensionalen euklidischen Raum, so handelt es sich um die Integration der Differentialgleichungen \[ \left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dz}{dt}\right)^2= 0,\quad 1+p^2+q^2= 0 \;\left(p=\frac {dz}{dx}, \;q=\frac {dz}{dy}\right) \] und die Bestimmung der Differential- und Integralinvarianten ihrer Integralmannigfaltigkeiten, der isotropen Geraden, Kurven und Torsen. Der Rang der Diskriminante bzw. der Komponentenmatrix des metrischen Fundamentaltensors ist für alle diese Mannigfaltigkeiten kleiner als die Dimensionszahl des Gebildes. Die hier zu besprechende Arbeit ist die erste in einer Reihe systematischer Abhandlungen, in welchen Verf. unter Abstreifung der speziellen Dimensionszahl 3 eine Theorie der analytischen Mannigfaltigkeiten von singulärem Fundamentaltensor entwickelt (vgl. das folgende Referat). Im Extremfall verschwindet der Rang der metrischen Komponentenmatrix: Mannigfaltigkeiten dieser Art nennt Verf. ``ametrisch''; ihr Bogenelement verschwindet identisch für jede Richtung (``totalisotrope'' Mannigfaltigkeiten). Verschwindet die Diskriminante für einen höheren Rang der Matrix, so handelt es sich um gewöhnliche ``isotrope'' Mannigfaltigkeiten. Von dieser Terminologie ist der Begriff der ``Minimalmannigfaltigkeiten'' zu unterscheiden, welche durch stationäre ``Oberflächenintegrale'' charakterisiert sind \((\delta {\overset {(n)} {\int\cdots \int}} \sqrt{|g_{ik}|}\,dx_1\,dx_2 \ldots dx_n = 0)\) -- ein Kriterium, welches im allgemeinen durchaus eine reguläre Metrik voraussetzt (\(|g_{ik}|\not\equiv 0\)). Für die Dimensionszahl \(\mu\) der ametrischen Mannigfaltigkeiten \(V_\mu\) des euklidischen \(R_n\) ergeben synthetische Erwägungen die Abschätzungen \[ 1\leqq \mu \leqq \frac n2 \;\text{für gerades} \;n, \;1\leqq \mu \leqq \frac{n-1}2 \;\text{für ungerades} \;n. \] Den Existenzbeweis ametrischer \(V_\mu\) höchster Dimension im euklidischen \(R_n\) erbringt die Integration der \textit{Monge}schen Gleichung \(\sum\limits _{i=1}^n dx_i^2= 0\). Durch Einführung neuer Veränderlicher läßt sich diese Gleichung auf eine der beiden Formen (2) \hfill \(\sum\limits_{i=1}^n dy_i\,dz_i= 0\), \hfill (10) \hfill \(\sum\limits_{i=1}^n dy_i\,dz_i + du^2= 0\) \hfill {} \noindent bringen, je nachdem, ob man in einem Raum gerader oder ungerader Dimensionszahl operiert. Im Falle (2) können die ametrischen Integralmannigfaltigkeiten höchster Dimension \(n\) \[ \varphi_i(y_1, \ldots, y_n, z_1, \ldots, z_n)= 0\quad (i = 1,2,\ldots,n) \tag{3} \] ohne Einschränkung der Allgemeinheit in der Gestalt \[ y_i=\psi_i(z_1, \ldots, z_n)\quad (i = 1,2,\ldots,n) \tag{5} \] angenommen werden, da das System \(d\varphi_i=0\) stets nach dem \textit{Furtwängler}schen ``Halbsystem'' der \(dy_1, dy_2, \ldots, dy_n\) auflösbar ist. (Vgl. \textit{Ph. Furtwängler}, 1925; F. d. M. 51, 533 (JFM 51.0533.01)). Dieser Umstand hat wegen \(\dfrac{\partial^2 \psi_\alpha}{\partial z_\beta\partial z_\gamma}=0\) (\(\alpha, \beta, \gamma = 1, 2,\ldots, n\)) linearen Charakter der ametrischen \(V_n\) im \(R_{2n}\) zur Folge. Demgegenüber zeigt ein Beispiel die Existenzmöglichkeit nichtlinearer ametrischer \(V_n\) im \(R_{2n+1}\). Die ametrischen Mannigfaltigkeiten niederer Dimensionszahl ergeben sich als Schnittgebilde; ihre einfachsten Vertreter sind die (linearen) ametrischen Geraden des \(R_2\) und die (evtl. nichtlinearen) ametrischen Kurven des \(R_3\) (isotrope Gerade der Ebene, isotrope Kurven des Raumes). Für einen \(k\)-fach ausgearteten \(R_m\) des \(R_n\), dessen Schnittgebilde \(V_{m-2}^2\) mit der absoluten \(V_{n-2}^2\) des \(R_n\) \(k\)-fach singulär ist, sind die maximalen Dimensionszahlen der in ihm enthaltenen ametrischen Mannigfaltigkeiten im Falle gerader bzw. ungerader Dimensionszahlen \(\dfrac{m+k}2\) bzw. \(\dfrac{m+k-1}2\). Die ametrischen Mannigfaltigkeiten eines \textit{Riemann}schen \(n\)-dimensionalen Raumes sind Integralmannigfaltigkeiten der allgemeinen \textit{Monge}schen Gleichung \[ \sum_{i,k=1}^n g_{ik}\,dx_i\,dx_k=0. \tag{14} \] Auch hier gelten für \(|g_{ik}|\neq 0\) aus synthetischen Gründen die gleichen Abschätzungen \(\dfrac n2\) bzw. \(\dfrac {n-1}2\) für die Maximaldimensionen der ametrischen Gebilde, wenn man von singulären Integralmannigfaltigkeiten absieht. Den Existenzbeweis führt Verf. hier nur für die Dimensionszahl 4, für welche die quadratische Differentialform in Produkte \textit{Pfaff}scher Formen \(\Phi\), \(\Psi\), \(X\), \(\Omega\) zerlegt wird: \[ ds^2 = \Phi \Psi -X\varOmega. \] Der Ansatz \(\Phi= \varrho \Omega\), \(X= \varrho \Psi\) führt auf ein vollständig integrables System von zwei \textit{Pfaff}schen Gleichungen in vier Veränderlichen, somit auf das Ergebnis: Die \textit{Monge}sche Gleichung \(\sum\limits_{i,k=1}^4 g_{ik}\,dx_idx_k= 0\) hat Kurven und Flächen, aber keine Hyperflächen zu nichtsingulären Integralmannigfaltigkeiten. Für \(|g_{ik}|\equiv 0\), d. h. für quadratische Differentialformen mit verschwindender Diskriminante, bedarf es eines weiteren Ausbaus der Terminologie. Verf. spricht von einer quadratischen Differentialform der Charakteristik \((r, k)\), wenn \(r\) der Rang der Determinante \(|g_{ik}|\) und \(k\) die ``Klasse der Form'', d. h. die Minimalzahl der Variablen bedeutet, auf welche die Form reduziert werden kann. Denkt man sich die zu untersuchende \textit{Riemann}sche \(V_n\) in einen euklidischen \(R_{n+m}\) eingebettet und vermöge \(\xi_i =\varphi_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) (\(i = 1, 2, \ldots, n + m\)) dargestellt, und ist \(r'\) der Rang der Funktionalmatrix \(\left\|\frac{\partial \varphi_i} {\partial x_\alpha}\right\|\) (\(i= 1, \ldots,n+ m; \;\alpha = 1,\ldots, n\)), so gilt \(1\leqq r \leqq k \leqq r' \leqq n\). Im Gegensatz zu dieser der \textit{Cartan}schen Theorie \textit{Pfaff}scher Formen nachgebildeten Terminologie nennt \textit{Ricci} die kleinstmöglichste Zusatzdimensionszahl \(m\) die ``Klasse der Form'', an deren Stelle Verf. die ``Einbettungszahl'' \(b = n + m\) einführt mit der Abschätzung \(k \leqq b \leqq \dfrac{n(n+1)}2\). (Den strengen Nachweis dieses ``Einbettungssatzes'' erbrachten in neuerer Zeit erst die Untersuchungen von \textit{Janet} (1926, 1927; F. d. M. 52, 737 (JFM 52.0737.04; JFM 53.0699.01)), \textit{Cartan}, \textit{Schoblik} und \textit{K. H. Weise}, (Math. Ann. 110 (1934), 522-570; F. d. M. 60 (JFM 60.0366.01)). Ein bemerkenswertes Beispiel zeigt an dieser Stelle, daß im komplexen Gebiet sogar mit der Möglichkeit ``negativer'' Einbettungszusatzdimensionen gerechnet werden muß. Im reellen Gebiet für reelle Funktionen \(g_{ik}\) und \(\varphi_i\) der reellen Veränderlichen \(x\) gilt: \(r=k= r'\). Allgemein gilt: Eine quadratische Differentialform mit der Charakteristik \((r,k)\) kann als quadriertes Bogenelement einer Mannigfaltigkeit von mindestens \(k\) Dimensionen aufgefaßt werden, deren Minimalkegel in jedem ihrer Punkte mindestens \((n-r)\)-fach singulär ist. Ist die Variablenzahl \(n\) und die Einbettungszahl \(b\), so liegt die Mannigfaltigkeit mindestens in einem euklidischen \(R_b\) und in keinem solchen Raum von niedrigerer Dimension. Mit diesen Ergebnissen behandelt Verf. zum Schluß wiederum die Integration der \textit{Monge}schen Gleichung \(\sum\limits_{i,k=1}^4 g_{ik}\,dx_i\,dx_k=0\), unter Berücksichtigung sämtlicher möglicher Charakteristiken. Die Resultate veranschaulicht kurz die folgende Tabelle: \noindent \( \begin{matrix} \r \,&\, & & \l \;& &\l \;& &\l \;& & \l \;& & \l \;& & \l \;& & \l \;& & \l \;& & \l \;& & \l \\ (r, k)&=&(4,4)&;&(3,4)&;&(2,4)&;&(1,4)&;&(3,3)&;& (2,3)&;&(1,3)&;&(2,2)&;&(1,2)&;&(1,1)&;\\ \mu&=&1,2&;&1,2&;&1,2,(3)&;&1,2&;&1,2&;&1,2,(3)&;&1,2&;&1,2,3&;&1,2,3&; &1,2,3&, \end{matrix} \) \noindent wobei \((r,k)\) die Charakteristik der Form, \(\mu\) die Dimensionszahl der nichtsingulären Integralmannigfaltigkeiten und die Klammer ``(3)'' -``unter gewissen Bedingungen'' -- bedeuten.