Wilczynski's and Fubini's canonical systems of differential equations. (Q1449457)

Verf. beabsichtigt, einen Vergleich der amerikanischen und italienischen Methoden in der Entwicklung der projektiven Flächentheorie zu geben, insbesondere zu zeigen, daß man \textit{Fubini}s kanonische Differentialgleichungen auch mit \textit{Wilczynski}s Methoden gewinnen kann. Bezieht man eine Fläche \(S_y\) auf homogene Koordinaten \(y^{(1)}\), \(\ldots \), \(y^{(4)}\), als Funktionen zweier unabhängiger Parameter \(u\), \(v\), so besteht für Asymptotenparameter das System \[ y_{uu}+2ay_u+2by_v+cy=0,\;\;y_{vv}+2a'y_u+2b'y_v+c'y=0. \] Dafür haben \textit{Wilczynski} und \textit{Fubini} die folgenden kanonischen Darstellungen gewonnen: \[ \begin{matrix} \r&\;\;\l&\l&\quad \quad\r&\;\;\l&\l&\l\\ &y_{uu}+2by_v&+fy=0, & &y_{uu}-\dfrac {(a'b)_u}{a'b}y_u+2by_v &+\varphi y &=0,\\ \text{(W)} && &\text{(F)} &&&\\ &y_{vv}+2a'y_u&+gy=0, & &y_{vv}+2a'y_u-\dfrac {(a'b)_v}{a'b}y_v &+\psi y &=0. \end{matrix} \] Verf. zeigt, wie man durch eine Reihe geeigneter Transformationen vom System (W) zum System (F) gelangt und umgekehrt. Der gefundene Zusammenhang beleuchtet auch einige weitere (z. T. bekannte) projektiv-geometrische Eigenschaften der Fläche, insbesondere die Identität der Projektiv-Normalen \textit{Fubini}s und der Pseudo-Normalen \textit{Green}s.