Über kugelgeometrische Verallgemeinerungen der nichteuklidischen Differentialgeometrie. I. (Q1449472)

Bekanntlich besteht der innere Zusammenhang der ``höheren Kugelgeometrie'' mit ``Punktgeometrien'' in Isomorphismen der diesen wie jenen zugrunde liegenden Transformationsgruppen. Geht man an Stelle euklidischer Punktmannigfaltigkeiten von nichteuklidischen aus, so erscheint es natürlich, mit solchen konstanter Krümmung \((k)\) zu beginnen. Betrachtet man das Büschel der linearen Kugelkomplexe \(\lambda a+ \mu b\) und in ihm die beiden Kugeln \(k_1\) und \(k_2\), welche den Lösungen \(\lambda: \mu\) der Gleichung \[ (\lambda a + \mu b, \;\lambda a+ \mu b) = 0 \] entsprechen, so ergeben sich als nächstliegende kugelgeometrische Verallgemeinerungen: \(\dfrac 1{2i} \log (k_1, k_2, a, b)\) höherer kugelgeometrischer Winkel (``\(H\)-Winkel'' \((a, b)\)), \(\dfrac k{2i} \log (k_1,k_2, a, b)\) höhere kugelgeometrische Distanz (``\(H\)-Distanz'' \((a, b)\)). \noindent Zu weiteren neuen und Analogiebegriffen führt die Theorie der \(H\)-Kugelscharen im \(R_3\): ``\(H\)-Krümmung'', ``\(H\)-Torsion'', ``\(H\)-Ausdehnungsmaß'', ``\(H\)-Raumkrümmung'', ``\(H\)-Absolute'', sofern es sich um eine Kugelschar \(u(s)\), ``\(H\)-Dualkrümmung'', ``\(H\)-Dualtorsion'', ``\(H\)-Dualausdehnungsmaß'', ``\(H\)-Dualraumkrümmung'', ``\(H\)-Dual-Absolute'', sofern es sich um eine Kugelkomplexschar \(\xi(\sigma)\) handelt. In bekannter Weise vollzieht sich der ``Abstieg'' zur konformen bzw. dualkonformen Geometrie (\(K\)-Geometrie) durch Auszeichnung eines linearen \(H\)-Kugelkomplexes \((0,0,0,0,0,1)\) bzw. \((0, 0,0,0, 1, 0)\); ebenso der ``Abstieg zur \textit{Laguerre}-Geometrie (\(L\)-Geometrie) durch Auszeichnung der \(H\)-Kugel \(\omega= (0, 0, 0, 1, 0, i)\). Verf. entwickelt ausführlich die Theorie der \(K\)-Kugelscharen im \(R_3\), der \(K\)-Kreisscharen im \(R_2\), desgleichen die Theorie der \(L\)-Kugelscharen im \(R_3\) und \(L\)-Kreisscharen im \(R_2\), ferner die entsprechende \(K\)- und \(L\)-Kurventheorie (vielfach nach Methoden von \textit{Thomsen}). Der eingehende Charakter der Darstellung mag durch die Fülle der eingeführten Begriffe und Definitionen beleuchtet werden: \(K\)-Krümmung, \(K\)-Torsion, \(K\)-Raumkrümmung, \(K\)-Dualkrümmung, \(K\)-Dualtorsion, \(K\)-Dualraumkrümmung, \(K\)-Schmiegkugel, \(K\)-Normalkugel, \(K\)-rektifizierende Kugel, \(K\)-Absolute, \(K\)-Kurvenlänge, \(K\)-Windungswinkel, \(K\)-Absolutpolare, \(K\)-Tangente, \(K\)-Binormale, \(K\)-Hauptnormale, \(K\)-Dualtangente, \(K\)-Dualhauptnormale, \(K\)-Dualbinormale, dazu die entsprechenden ``\textit{Laguerre}-Begriffe'' \(L\)-Krümmung, \(L\)-Torsion usw. Der jeweiligen absoluten Mannigfaltigkeit der in Rede stehenden nichteuklidischen Punktgeometrien entspricht in allen Fällen (\(H\)-, \(K\)-, \(L\)-) ein ausgezeichneter linearer Kugelkomplex \(X\), welcher mit jedem Element des Büschels \(\lambda a + \mu b\) in Involution liegt (es gibt deren unendlich viele). Die Bestimmung von \(X\) durch die Nachbarelemente zweiter, dritter und vierter Ordnung eines gegebenen Komplex- oder Scharelementes bilden den wesentlichen Inhalt einer Reihe von Sätzen (von Verf. ``Grundprinzipe'' genannt), welche die ``Gültigkeitsgrenzen'' der durch ihre Absolutelemente bestimmten jeweiligen nichteuklidischen Geometrien festlegen.