Über affine Geometrie. XL: Eiflächen konstanter Affinbreite. (Q1449516)

Eine Eifläche \(E\) besitzt konstante Breite \(b\), wenn jede Verbindungssehne paralleler Stützebenen der Fläche die konstante Länge \(b\) hat. Jede Normale einer solchen Fläche ist außerdem Doppelnormale. Verf. sucht das affingeometrische Gegenstück und beweist den Satz: Die Ellipsoide sind sowohl die einzigen Eiflächen konstanter Affinbreite wie auch die einzigen analytischen Eiflächen, deren Affinnormalen sämtlich affine Doppelnormalen sind. Ist \(B\) ein dreidimensionaler, von einer geschlossenen, zweiseitigen, ganz im Endlichen gelegenen, stetig differenzierbaren Fläche \(F\) begrenzter Bereich, so nennt Verf. \(B\) von konstantem Affindurchmesser \(c\), wenn es zu jedem Punkt (\(\mathfrak x\)) auf \(F\) einen Punkt (\(\overline{\mathfrak x}\)) in \(B\) gibt derart, daß für jeden beliebigen anderen Punkt (\(\mathfrak z\)) aus \(B\) \[ e(\mathfrak z, \mathfrak x)\leqq e(\overline{\mathfrak x},\mathfrak x) = c \] gilt, wo unter \(e\) die Affinentfernung des entsprechenden Punktepaars verstanden wird. (Diese Definition ist ein affines Analogon zu einer Definition von \textit{K. Reidemeister}). Dann gilt der Satz: Ein Körper \(B\) konstanten Affindurchmessers ist ein Ellipsoid. Verf. untersucht ferner noch Eilinien, deren Affinnormalen Doppelnormalen sind. Es ergeben sich Ellipsen.