Über die fundamentalen Identitäten der Invariantentheorie. (Q1449793)

Aus einer vom Verf. selbst gegebenen Einleitung: ``Die Invarianten eines endlichen oder unendlichen Systems von Linearformen in kogredienten und kontragredienten Variablen \(x\) und \(u'\) kann man nach dem ``ersten Fundamentalsatz der symbolischen Methode'' vollständig angeben: sie bauen sich auf aus ``Klammerfaktoren'' (Determinanten) und ``Linearfaktoren'' \((a'b) = \sum\limits_1^n a^{\prime (i)}b^{(i)}\). Zwischen diesen bestehen algebraische Identitäten, und es handelt sich im folgenden um die Angabe eines Fundamentalsystems von Identitäten, aus denen sich alle übrigen durch Addition und Multiplikation mit beliebigen Invarianten ableiten lassen. Um das Problem scharfer zu fassen, wird ein Polynombereich \(\varOmega\) von endlich oder unendlich vielen Unbestimmten gebildet, denen später die oben charakterisierten einfachsten Invarianten zugeordnet werden. Diejenigen Polynome aus \(\varOmega\), die identisch (in den Formenkoeffizienten als Unbestimmte) verschwinden, wenn man für die erstgenannten Unbestimmten diese Invarianten einsetzt, bilden ein Ideal in \(\varOmega\), und es handelt sich um eine Basis für dieses Ideal. Beschränkt man sich auf endlichviele Unbestimmte, so hat das Ideal nach dem \textit{Hilbert}schen Basissatz eine endliche Basis; die Anzahl der Elemente dieser Basis ist bei wachsender Anzahl der Unbestimmten zwar nicht beschränkt, jedoch nach \textit{E. Pascal} von endlicher Typenzahl ``5'': \(\Pi_1, \ldots, \Pi_5\).'' Für diese Tatsache, den sog. \textit{Pascal}schen Satz, bringt Verf. einen neuen Beweis: ``Der Beweis läuft so, daß alle Polynome modulo den fünf Typen durch gewisse normierte Polynome ersetzt werden, von denen gezeigt wird, daß sie verschwinden, wenn die zugehörigen Invarianten verschwinden. Die normierten Polynome entstehen aus den gegebenen ausschließlich durch Permutation von Symbolen, Multiplikationen mit rationalen Zahlen und Addition. Aus diesem Grunde kann die Normierung mit rein gruppentheoretischen Hilfsmitteln geschehen, nämlich durch eine von \textit{A. Young} angegebene Methode, die, wenn man auf Invarianten übergeht, die bekannte Reihenentwicklung einer Form nach Polaren von Normalformen ergibt. Die nämliche Methode erlaubt für gewisse Teilbereiche von \(\varOmega\), die für manche Anwendungen von Wichtigkeit sind, die Basisfrage zu lösen, und zwar erweist sich auch für diese die Typenzahl beschränkt. Geht man von Linearformen auf beliebige Formen in \(x, y, \ldots; u', v', \ldots\) über, so kann nach der symbolischen Methode jeder Invariante der Urformen eine Invariante von Linearformen und somit auch ein Polynom aus \(\varOmega\) zugeordnet werden. Die Zuordnung ist nicht eindeutig, denn wenn man in den Invarianten der Linearformen die ``äquivalenten Symbole'' permutiert, so ändert sich die zugehörige Invariante der Urformen nicht. Durch eine Normierung kann die Zuordnung aber eindeutig gemacht werden, und so wird die Frage nach einer Basis für das System aller Polynome aus \(\varOmega\), denen eine verschwindende Invariante entspricht, auf die entsprechende Frage für Linearformen zurückgeführt. Das gleiche gilt für Formen, die außer den Variablen \(x, y, \ldots; u', v', \ldots\) noch Koordinaten von Linien, Ebenen usw. im projektiven Raum der \(x^{(1)}, \ldots, x^{(n)}\) enthalten, da man diesen Formen alternierende Formen in \(x, y, \ldots; u', y', \ldots\) zuordnen und die damit geleistete Zuordnung der Invarianten wieder eindeutig machen kann. Man hat dabei die Wahl, ob man \(z\). B. einer Linearform in Linienkoordinaten eine Bilinearform in Punktkoordinaten \(x, y\) oder eine Multilinearform in \(u^\prime_1, u^\prime_2, \ldots, u^\prime_{n-2}\) zuordnen will. Macht man beides abwechselnd, was in manchen Untersuchungen nützlich ist, so ist die Eindeutigkeit der Zuordnung wieder zerstört und es muß nach neuen Mitteln gesucht werden, um zu entscheiden, ob zwei Polynome aus \(\varOmega\) die gleiche Invariante darstellen, d. h. es entsteht von neuem die Basisfrage. Auch dann ergeben sich wieder endlichviele, nämlich sieben Typen, wie schon \textit{Weitzenböck} gezeigt hatte. Für einige Teilbereiche wird die Basisfrage in \S\ 4 gelöst. Besonders hervorzuheben ist der später definierte Teilbereich \(\varOmega_0\), weil praktisch immer mit Polynomen aus \(\varOmega_0\) gerechnet wird. Für die Identitäten in \(\varOmega_0\) wird in \S\ 4 eine neue Basis gegeben. Die entwickelten Methoden lassen sich auch auf andere als projektive Invarianten anwenden; den Fall der Drehungsinvarianten behandelt \S\ 6. Die nötigen Vorbemerkungen über die formale Seite der symbolischen Rechnung, eine schärfere Fassung der Probleme sowie eine Erörterung der in \S\S\ 2--5 zu beweisenden Sätze und ihres Zusammenhangs werden in \S\ 1 gegeben.''