Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes. (Q1449811)

Die Struktur der gruppenähnlichen Gebilde von endlich vielen Elementen - Gruppoide genannt --, auf die Verf. bei der Untersuchung der Komposition der quaternären quadratischen Formen gestoßen ist (1926; F. d. M. 52, 45 (JFM 52.0045.*) und die dort genannten früheren Arbeiten des Verf.), wird hier vom abstrakten Standpunkt aus untersucht. Gegeben sei ein System \({\mathfrak G}\) von endlich vielen Elementen \(A, B, C, \ldots\) (ein Teil der Ergebnisse gilt auch für abzählbare Systeme) und eine Zusammensetzungsvorschrift, die gewissen -- aber im allgemeinen nicht allen -geordneten Paaren von Elementen ein Element des Systems zuordnet und folgenden Bedingungen genügt: I. Wenn \(AB= C\) gilt, ist jedes der drei Elemente durch die beiden andern eindeutig bestimmt. II. Aus der Existenz von \(AB\) und \(BC\) oder von \(AB\) und \((AB)C\) oder von \(BC\) und \(A(BC)\) folgt die Existenz von \(AB, BC, (AB)C\) und \(A(BC)\) sowie die Gleichheit der beiden letzten Produkte. (Existenz und Wert eines Produktes von mehreren Elementen ist also allein durch die Reihenfolge der Faktoren bestimmt.) III. Zu jedem Element \(A\) gibt es \textit{genau eine} Rechtseinheit \(E(AE= A)\), \textit{eine} Linkseinheit \(E' (E'A= A)\) und \textit{ein} Inverses \(\overline{A}(\overline{A}A= E)\). (Daraus folgt nach I und II: \(\overline{A}\) hat \(E\) als Links-, \(E'\) als Rechtseinheit; ferner gilt \(\overline{A}A= E'\). \(AB\) existiert dann und nur dann, wenn die Rechtseinheit von A zugleich Linkseinheit von \(B\) ist.) IV. Für je zwei Einheiten \(E, E'\) gibt es wenigstens ein Element \(A\), das \(E\) als Rechtseinheit und \(E'\) als Linkseinheit besitzt. Elemente mit gleicher Rechtseinheit und gleicher Linkseinheit heißen einander doppelt zugehörig, solche mit gleicher Rechtseinheit bzw. gleicher Linkseinheit einander rechts bzw. links zugehörig. Die Elemente von \({\mathfrak G}\) ordnen sich nun in Komplexe von einander doppelt zugehörigen Elementen, die alle die gleiche Elementenanzahl \(g\) besitzen. Ebenso besitzen die Komplexe von einander rechts zugehörigen oder einander links zugehörigen Elementen gleiche Elementenanzahl \(rg\). \ \(r\) heißt Rang, \(g\) Ordnung von \({\mathfrak G}\), und die Elementenanzahl von \({\mathfrak G}\) ist \(r^2g\). Die einer Einheit \(E\) doppelt zugehörigen Elemente bilden eine Gruppe \({\mathfrak g}\) der Ordnung \(g\); alle so entstehenden Gruppen sind einander isomorph. -- Durch die Komposition der Elemente wird zugleich eine Komposition der Komplexe von einander doppelt zugehörigen Elementen definiert, durch die das System dieser Komplexe zu einem Gruppoid der Ordnung l wird; dieses Gruppoid läßt sich auch durch geeignet ausgewählte Elemente der einzelnen Komplexe darstellen. Ein in \({\mathfrak G}\) enthaltenes Gruppoid \({\mathfrak H}\) heißt Teilgruppoid und speziell, wenn \({\mathfrak H}\) alle Einheiten von \({\mathfrak G}\) enthält, Untergruppoid von \({\mathfrak G}\). Ist \({\mathfrak h}\) eine Untergruppe von \({\mathfrak g}\), so buldet die Gesamtheit der Komplexe \(A_i{\mathfrak h}\overline{A_k}\) (\(A_i, A_k\) zu \(E\) rechts zugehörig) ein Gruppoid, falls man zwei solche Komplexe komponierbar nennt, wenn ihre Elemente komponierbar sind und die Komponierten wieder einen Komplex der genannten Art bilden. Dieses ``Faktorgruppoid'' \({\mathfrak G}/{\mathfrak h}\) weist Analogien zur Faktorgruppe auf (und ist, falls \({\mathfrak G}= {\mathfrak g}, {\mathfrak h}\) Normalteiler von \({\mathfrak g}\) ist, mit der Faktorgruppe identisch). Rang \(\varrho\) und Ordnung \(\gamma\) von \({\mathfrak G}/{\mathfrak h}\) sind bestimmt durch \(\gamma=\dfrac{n}{h}\), \(\varrho=\dfrac{rg}{n}\), wobei \(h\) die Ordnung von \({\mathfrak h}\), \(n\) die Ordnung des Normalisators von \({\mathfrak h}\) in \({\mathfrak g}\) bezeichnet. Schließlich wird noch die Kompositionstafel des Gruppoids, das Analogon der Gruppentafel, beschrieben.