Über die Erweiterung von Gruppen I, II. (Q1449819)

Sind \({\mathfrak A}\) und \({\mathfrak B}\) zwei vorgegebene abstrakte Gruppen, so heißt \textit{Erweiterung} der Gruppe \({\mathfrak A}\) mit Hilfe von \({\mathfrak B}\) eine Gruppe \({\mathfrak C}\), die \({\mathfrak A}\) als Normalteiler enthält mit einer zu \({\mathfrak B}\) einstufig-isomorphen Faktorgruppe. Verf. untersucht die Konstitution aller dieser Gruppen. Die allgemeine Untersuchung führt zu dem Satze I, der die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Elemente \(A^B, A_{B', B''}\) angibt, damit die Relationen \[ A\overline{B}=\overline{B}A^B, \quad \overline{B'}\overline{B''}= \overline{B'B''}A_{B, B''} \] zusammen mit den Relationen der Gruppe \({\mathfrak A}\) eine Erweiterung von \({\mathfrak B}\) mit Hilfe von \({\mathfrak B}\) definieren. Da diese Bedingungen nicht unabhängig voneinander sind, eine Reduktion der Bedingungen aber nicht erzielt werden kann ohne genauere Strukturkenntnis von \({\mathfrak B}\), so werden weiterhin spezielle Fälle untersucht, die sich aus Spezialisierungen der Gruppe \({\mathfrak B}\) ergeben. \S\ 2 des ersten Teiles setzt voraus, daß \({\mathfrak B}\) ein direktes Produkt endlich oder unendlich vieler Gruppen sei; die Umformung des Satzes I führt auf den Satz II der Arbeit. Die Erweiterung einer Gruppe mit Hilfe \textit{Abel}scher Gruppen ist der Inhalt des dritten und letzten Paragraphen des ersten Teiles. Der zweite Teil der Arbeit bringt nun einige Anwendungen, insbesondere des dritten Paragraphen. Nach einer kurzen Vorbereitung über Kongruenzen zwischen Matrizen wird das Kriterium für die Existenz von Erweiterungen einer Gruppe mit Hilfe von \textit{Abel}schen. Gruppen auf den Fall spezialisiert, daß auch die zu erweiternde Gruppe \({\mathfrak A}\) eine Abelsche Gruppe endlicher Ordnung ist. Für diesen Fall kann ein Kriterium dafür angegeben werden, daß \({\mathfrak A}\) der Kommutator der Erweiterung ist. Alle diese speziellen Resultate lassen sich nun auf Strukturuntersuchungen für \(p\)-Gruppen (d. h. Gruppen von Primzahlpotenzordnung) anwenden, wenn noch einige Sätze über die Automorphismengruppe einer \textit{Abel}schen \(p\)-Gruppe und über den Kommutator einer \(p\)-Gruppe hinzugezogen werden. \S\ 5 beschäftigt sich mit der Frage der Existenz gewisser Typen von metabelschen \(p\)-Gruppen, der letzte Paragraph mit der Aufstellung aller Gruppen der Ordnungen \(p^3, p^4, p^5\). Diese Untersuchungen bringen zwar keine neuen Resultate, sind aber doch durch, ihre Übertragungsmöglichkeit auf höhere Fälle von großer Bedeutung.