Der Diskriminantensatz für die Ordnungen eines algebraischen Zahl- oder Funktionenkörpers. (Q1449852)

1. Es sei \(\mathfrak R\) ein kommutativer Ring von endlichem Rang in bezug auf einen Körper \(P\), \(\mathfrak p\) ein Primideal in \(\mathfrak R\). \(\mathfrak R/\mathfrak p\) ist ein Körper, der einen zu \(P\) isomorphen Unterkörper enthält. Je nachdem ob \(\mathfrak R/\mathfrak p\) eine algebraische Erweiterung erster oder zweiter Art über \(P\) ist, heißt das Primideal \(\mathfrak p\) erster oder zweiter Art. Der Grundkörper \(P\) wird durch einen nullteilerfreien Ring \(\varSigma\) ersetzt, der das Einheitselement von \(\mathfrak R\) enthält. Es sei \(a\) ein Ideal in \(\mathfrak R\), \(\alpha_1\), \dots, \(\alpha_s\), eine linear unabhängige \(\varSigma\)-Modulbasis von \(\mathfrak a\), \(\gamma\) ein Element aus \(\mathfrak R\). Durch die Gleichungen \[ \gamma\alpha_i=\textstyle \sum\limits_{\varkappa =1}^{s} \displaystyle c_{i\varkappa }\alpha_\varkappa \quad c_{i\varkappa }<\varSigma, \] erhält man eine Darstellung von \(\mathfrak R\) durch einen Matrizenring \(\mathfrak R_\alpha\). Zwei Ideale \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) heißen äquivalent, wenn es eine isomorphe Zuordnung gibt, so daß aus \(\alpha\leftrightarrow \beta\) auch \(\gamma\alpha\leftrightarrow \gamma\beta\) folgt (\(\alpha< \mathfrak a\); \(\beta<\mathfrak b\); \(\gamma<\mathfrak R\)). Zu äquivalenten Idealen gehören äquivalente Ringe, die sich nur um eine Ähnlichkeitstransformation durch eine unimodulare Matrix unterscheiden. Alle untereinander äquivalenten Ideale bilden eine Klasse. Die Hauptklasse ist die Klasse des Einheitsideals. Spur und Norm der darstellenden Matrizen bilden Klasseninvarianten (\(S_{\mathfrak a}(\gamma)\) bzw. \(N_{\mathfrak a}(\gamma)\)). Ist \(\mathfrak r\) ein zweites Ideal in \(\mathfrak R\) mit der Basis \(\varrho_1\), \dots, \(\varrho_r\), so ist die Determinante \(|\,S_{\mathfrak a}\,(\varrho_i\varrho_\varkappa )\,|\) bis auf das Quadrat einer Einheit aus \(\varSigma\) bestimmt. Das daraus in \(\varSigma\) gebildete Hauptideal ist wieder Klasseninvariante. Jede Determinante \(|\,S_{\mathfrak a}\,(\varrho_i\varrho_\varkappa )\,|\) heißt Diskriminante von \(\mathfrak r\), das zugehörige Hauptideal heißt Diskriminantenideal von \(\mathfrak r\) (\(\mathfrak r\) kann auch mit \(\mathfrak R\) übereinstimmen). Es sei nun \(\mathfrak H\) ein Hauptidealring (Integritätsbereich mit Einselement, in dem jedes Ideal Hauptideal wird), \(\mathfrak L\) eine endliche Erweiterung erster Art des zugehörigen Quotientenkörpers, \(\mathfrak S\) der Ring aller in bezug auf \(\mathfrak H\) ganzen Größen aus \(\mathfrak L\) (die Hauptordnung). Jeder Unterring von \(\mathfrak L\), der \(\mathfrak H\) enthält, heißt eine Ordnung. Dann gilt der folgende Hauptsatz : ``Eine Primgröße \(p\) aus \(\mathfrak H\) geht dann und nur dann in der Diskriminante \(D_{\mathfrak T}\) einer Ordnung \(\mathfrak T\) auf, wenn in der Zerlegung des Hauptideals \(\mathfrak T_{\mathfrak p}\) (des in \(\mathfrak T\) gebildeten Hauptideals (\(p\))) in paarweise teilerfremde Primärkomponenten aus \(\mathfrak T\) mindestens eine eigentliche Primärkomponente oder mindestens ein Primideal zweiter Art auftritt.'' Der Beweis soll skizziert werden: Die Ordnung \(\mathfrak T\) ist homomorph zu \(\mathfrak R=\mathfrak T/\mathfrak T_{\mathfrak p}\), einem Ring von endlichem Rang in bezug auf einen zu \(\mathfrak H/\mathfrak H_{\mathfrak p}\) isomorphen Körper \(P\). Dem Ideal \(\mathfrak T_{\mathfrak p}<\mathfrak T\) entspricht das Nullideal in \(\mathfrak T/\mathfrak T_{\mathfrak p}\). Das Auftreten einer eigentlichen Primärkomponente oder eines Primideals zweiter Art in der Idealzerlegung von \(\mathfrak T_{\mathfrak p}\) in \(\mathfrak T\) entspricht dasselbe in der Idealzerlegung des Nullideals von \(\mathfrak T/\mathfrak T_{\mathfrak p}\,\cdot\) (\(\mathfrak T'\mathfrak T_{\mathfrak p}\) ist nicht vollständig reduzibel bzw. nicht vollständig reduzibel erster Art.) Das ist aber dann und nur dann der Fall, wenn die Diskriminante von \(\mathfrak R\) verschwindet, also \(D_{\mathfrak T}\) durch \(p\) teilbar ist. Ist \(\mathfrak H/\mathfrak H_p\) vollkommen, so können Primideale zweiter Art nicht auftreten, und jede in \(D_{\mathfrak T}\) aufgehende Primgröße \(p\) besitzt mindestens eine eigentliche Primärkomponente. Wird außerdem noch für \(\mathfrak T\) die Hauptordnung \(\mathfrak S\) gewählt, so geht der Satz in den \textit{Dedekind}schen Diskriminantensatz über. Zum Schluß wird der Satz auf den Fall übertragen, daß der Grundring \(\mathfrak H\) kein Hauptidealring mehr, sondern ein Multiplikationsring ist.