Die Erhaltung der Kettensätze der Idealtheorie bei beliebigen endlichen Körpererweiterungen. (Q1449859)

Ein Ring \(R\) erfülle die folgenden Voraussetzungen: (1) Teilerkettensatz, (2) Existenz des Einheitselements, (3) Nullteilerfreiheit, (4) Ganz-Abgeschlossenheit im Quotientenkörper, (5) ist \(p\) die Charakteristik des Ringes, dann ist der Wurzelring, d. i. der Ring aus allen \(p\)-ten Wurzeln aus Ringelementen, endlich in Bezug auf den Ring. Ferner sei \(P\) der Quotientenkörper von \(R\), \(\varSigma\) eine endliche Erweiterung von \(P\) und \(S\) der Ring der in bezug auf \(R\) ganzen Zahlen von \(\varSigma\). Dann hat auch \(S\) die genannten fünf Eigenschaften. Gilt in \(R\) überdies noch der Vielfachkettensatz für die Teiler eines festen von (0) verschiedenen Ideals, so gilt das gleiche für \(S\). Der entsprechende Satz für Erweiterungen erster Art ist von \textit{E}. \textit{Noether} (s. vorstehendes Referat) bewiesen worden.