Aufgabe 30. Lösung von A. Brauer. (Q1449903)

Die Aufgabe lautet: Es seien \(M\) und \(n\) ganze positive Zahlen. Die Zahlen \(r_1, r_2,\ldots, r_q\) \((q\geq 2\)) sollen je ein verkürztes Restsystem mod \(M\) durchlaufen, doch mit der Einschränkung, daß stets \[ \sum_{j=1}^q r_j\equiv n\pmod M \] ist. Wird dann \[ \varPhi^{(q)}(M;n)=\sum_{r_1,r_2,\ldots,r_q} 1 \] gesetzt, so ist \[ \varphi^{(q)}(M;n)=M^{q-1}\prod_{p\mid (M,n)} \frac{(p-1)\left((p-1)^{q-1}-(-1)^{q-1}\right)}{p^q} \prod_{\substack{ p\mid M\\p+n}} \frac{(p-1)^q-(-1)^q}{p^q}, \] worin \(p\) die Primzahlen durchläuft. Offenbar ist \(\varPhi^{(2)}(M;M)\) identisch mit der Eulerschen Funktion \(\varphi(M)\).