Aufgabe 31 und 32. Lösungen von A. Brauer. (Q1449904)

Die Aufgaben lauten: Es seien \(M\) und \(n\) ganze positive Zahlen; \(\mu(x)\) sei das \textit{Möbius}sche Symbol. Dann gilt: \[ \varphi(M)=\sum_{\substack{ d|M\\ (d,n)=1}} \frac{d}{\varphi(d)} \mu\left(\frac{M}{d}\right)=\mu(M)\sum_{\delta|(M,n)} \delta\mu\left(\frac{M}{\delta}\right), \] worin über \(d\) bzw. \(\delta\) zu summieren ist. Diese Formel läßt noch folgende Verallgemeinerung zu: Außer \(M\) und \(n\) seien noch der Teiler \(M_1\) von \(M\) und eine zu \(M_1\) teilerfremde Zahl \(a\) gegeben. Dann ist für \(\left(\dfrac{M}{M_1},M_1\right)=1\) \[ \varphi(M)\sum_{\substack{ d|M\\ (d,n)=1\\ (d,M_1)|n-a}} \frac{d}{\varphi(v)}\mu\left(\frac{M}{\delta}\right)= \mu\left(\frac{M}{M_1}\right) \sum_{\delta\left|\left(\tfrac{M}{M_1},n\right)\right.} \delta\mu\left(\frac{M}{M_1\delta}\right) \sum_{\delta_1|(M_1,n-a)}\delta_1\mu \left(\frac{M_1}{\delta_1}\right); \] dagegen ist fur \(\left(\dfrac{M}{M_1},M_1\right)>1\) \[ \varphi(M)\sum_{\substack{ d|M\\ (d,n)=1\\ (d,M_1)|n-a}} \frac{d}{\varphi(v)}\mu\left(\frac{M}{d}\right)=0; \] dabei soll in beiden Formeln die Variable \(v\) das kleinste gemeinsame Vielfache von \(d\) und \(M_1\), also \(v=\dfrac{dM_1}{(d,M_1)}\) bedeuten, und \(d\) bzw. \(\delta\) und \(\delta_1\) sind die Summationsvariabeln. Für \(M_1=1\) geht hieraus die Behauptung der Aufgabe 31 hervor.