Über den Zusammenhang zwischen den definierenden Gleichungen und der Idealtheorie in algebraischen Körpern. I. (Q1449987)

Die vorliegende Abhandlung bildet die Erweiterung der in vorstehendem Referat [JFM 52.0151.03] zitierten \textit{Dedekind}schen Arbeit [Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und den höheren Congruenzen. Abhandlungen Göttingen 23, 3--38 (1878; \url{eudml:135827})]. Diese Erweiterung und Vervollkommnung liegt in dem wichtigen Satz: Der Körper \(P(\vartheta)\) sei durch die Gleichung \(f(\vartheta)=0\) definiert, wo \(f(x)\) irreduzibel in \(P(1)\) und mit ganzen rationalen Koeffizienten versehen ist und als normiert angesehen werden darf. Hat das Polynom \(f(x)\bmod p^\alpha\) die Zerlegung in irreduzibile Faktoren: \[ f(x)\equiv f_1(x)\cdot f_2(x) \cdots f_r(x) \pmod {p^\alpha}, \] so besitzt die Primzahl \(p\) in \(P(\vartheta)\) die Primidealzerlegung \[ (p)={\mathfrak p}_1^{e_1}{\mathfrak p}_2^{e_2} \ldots {\mathfrak p}_r^{e_r}, \quad N{\mathfrak p}_i=p^{fi}, \] wobei \(e_i\cdot f_i=n_i\) ist, wenn \(n_i\) den Grad des entsprechenden Faktors \(f_i(x)\) bezeichnet. Dabei ist \(\alpha\) eine beliebige feste positive ganze Zahl, über die nur \(\alpha > 0\) vorausgesetzt wird, wenn die Diskriminante von \(f(x)\) genau durch \(p^\delta\) teilbar ist. Außerdem ist \[ f_i(\vartheta)\equiv 0 \pmod {p_i^{e_i(\alpha-\delta)}}. \] Der Beweis dieses wichtigen Satzes beruht auf der Zerlegung eines Polynoms mod \(p^\alpha\) und dem Zusammenhang zwischen den Faktoren mod \(p^\alpha\) für verschiedene \(\alpha\). Hier gilt der Hauptsatz: Zerlegt man \(f(x)\) in irreduzible Faktoren \(\pmod {p^{\delta+1}}\): \[ f(x)\equiv f_1(x)\cdot f_2(x) \cdots f_r(x) \pmod {p^{\delta+1}}, \] so besteht für alle \(\alpha > \delta + 1\) eine entsprechende Zerlegung in irreduzible Faktoren \(\pmod{p^\alpha}\): \[ \begin{gathered} f(x)\equiv f_1^{(\alpha)}(x)\cdots f_r^{(\alpha)}(x) \pmod {p^\alpha}, \\ \text{ wobei } f_i^{(\alpha)}(x)\equiv f_i(x) \pmod {p^{\delta-\varrho'+1}},\quad i = 1, \ldots,r. \end{gathered} \] Als Anwendung der Theoreme über höhere Kongruenzen folgt in einfachster Weise der Satz: Die Körperdifferente ist der größte gemeinsame Faktor von den Differenten der Zahlen des Körpers, und: Die Primzahl \(p\) ist dann und nur dann ein gemeinsamer außerwesentlicher Diskriminantenteiler, wenn von den Ungleichungen \[ r_f>g(f) \quad (f=1, 2, \ldots) \] wenigstens eine erfüllt ist. Dabei bedeutet \(r_f\) die Anzahl der Primidealteiler von \(p\) vom Grade \(f\), während \(g(f)\) die Anzahl der verschiedenen Primfunktionen \(\pmod p\) vom Grade \(f\) angibt. Auch die übrigen \textit{Dedekind}schen Sätze über die Potenz eines Primideales, mit der es in der Differente des Körpers aufgeht, folgen in frappierend einfacher Weise aus den Sätzen über die Zerlegung der Polynome mod \(p^\alpha\). Zugleich erhält man aber noch eine Verallgemeinerung des letzten Satzes. Der letzte Paragraph enthält den wichtigen Existenzsatz über algebraische Körper: Wenn zwei Systeme \[ e_1, e_2, \ldots, e_\nu; \;f_1, f_2, \ldots, f_\nu \] von ganzen rationalen und positiven Zahlen so gegeben sind, daß \(e_1f_1 + \cdots + e_\nu f_\nu=n\) ist, so kann man immer einen solchen algebraischen Körper \(P(\vartheta)\) \(n\)-ten Grades bestimmen, daß die Primzahl \(p\) in \(P(\vartheta)\) die Primidealzerlegung \[ (p) = {\mathfrak p}_1^{e_1} \cdots p_\nu^{e_\nu}, \quad N{\mathfrak p}_i=p^{fi} \] hat.