Metazyklische Minimalbasis und komplexe Primzahlen. (Q1449993)

Kennt man die Minimalbasis des zu einer Permutationsgruppe \(\mathfrak G\) gehörigen \textit{Lagrange}scher Gattungsbereichs, so kann man nach \textit{E. Noether} die Gleichungen, die \(\mathfrak G\) als \textit{Galois}sche Gruppe haben, in Parameterdarstellung angeben. Beschränkt man sich auf auflösbare Gruppen, so hat man im Fall eines Primzahlgrades nur die Minimalbasen für die lineare Gruppe und ihre Untergruppen zu suchen. Die lineare Gruppe \(\mathfrak G\) ist zusammengesetzt aus einer zyklischen Gruppe \(\mathfrak Z_p\) der Ordnung \(p\) und aus einer zyklischen Gruppe \(\mathfrak G_{p-1} = \dfrac{\mathfrak G}{\mathfrak Z_p}\) der Ordnung \(p -1\). Man gehe aus von einer Minimalbasis für die zyklische Gruppe \(\mathfrak Z_p\) in den Variablen \(x_0, \dots, x_{p-1}\). Die Basisfunktionen \[ y_0 = x_0 + \cdots + x_{p-1}, y_1, y_2, \dots, y_{p-1} \] versuche man so zu bestimmen, daß \(y_1, y_2, \dots, y_{p-1}\) bei Anwendung von \(\mathfrak G_{p-1}\) wieder eine zyklische Vertauschung erleiden. Dieser Ansatz bietet zwei Vorteile: 1) Die so erhaltene Basis läßt sich leicht rationalisieren. 2) Man erhält aus der zyklischen Basis leicht eine metazyklische Basis, indem man noch die Minimalbasis für die zyklischen Funktionen von \(y_1, y_2, \dots, y_{p-1}\) bestimmt. Das Basisproblem für die metazyklische Gruppe von Primzahlgrad ist auf das der zyklischen Gruppe (nicht mehr von Primzahlgrad) reduziert. Wählt man die Basisfunktionen als Potenzprodukte der zugehörigen \textit{Lagrange}schen Resolventen, so erhält man bis auf eine Zusatzbedingung eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz der oben geschilderten Minimalbasis in der Darstellung von \(p\) als Norm einer komplexen Primzahl im Körper der \((p-1)\)-ten Einheitswurzeln. (Die Unterscheidung zwischen den speziellen Minimalbasen 1. und 2. Art ist, wie \textit{Gröbner} bemerkt hat, überflüssig.) Die zyklischen Minimalbasen werden für alle Primzahlen bis \(p = 23\) abgeleitet. Die metazyklischen Minimalbasen sind dann bekannt, wenn \(\dfrac{p-1}{2}\) eine Primzahl ist, da für ungerades \(\dfrac{p-1}{2}\) eine zweite Reduktion des metazyklischen Basisproblems benutzt werden kann.