Über die Reziprozitätsgesetze für Primzahlpotenzexponenten. (Q1449994)

Es wird das Reziprozitätsgesetz der \(l^2\)-ten Potenzreste (\(l\) Primzahl) bewiesen: \[ \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)_{l^2} = \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)_{l^2} \] gilt in jedem algebraischen Zahlkörper, der die \(l^2\)-ten Einheitswurzeln enthält, sobald wenigstens eine der zueinander und zu \(l\) primen Zahlen \(\alpha\), \(\beta\) zweifach primär ist. Dabei heißt \(\alpha\) zweifach primär, wenn die Relativdiskriminante des aus \(\root\uproot 3 {l^2}\of\alpha\) erzeugten Körpers zu \(l\) prim ist. U. a. gilt auch das \textit{Eisenstein}sche Reziprozitätsgesetz für den Exponenten \(l^2\), und das Ganze ist so angelegt, daß sich das volle Reziprozitätsgesetz auch auf den Exponenten \(l^n\) übertragen läßt.