Die Bedeutungslosigkeit der Pfeifferschen Methode für die analytische Zahlentheorie. (Q1450043)

Den Ausgangspunkt bildet die Abhandlung des Verf. ``die Bedeutung der Pfeifferschen Methode für die analytische Zahlentheorie'' (1912; F. d. M. 43, 268 (JFM 43.0268.*)), in der ein 1886 von \textit{E. Pfeiffer} entdecktes Verfahren richtiggestellt und auf die asymptotische Abschätzung zahlentheoretischer Funktionen, die mit Gitterpunkten zusammenhängen, angewendet wurde. In der vorliegenden Arbeit zeigt Verf. dagegen, daß der eigentlich \textit{Pfeiffer}sche Teil der Methode entbehrlich ist. Es handelt sich dabei insbesondere um Betrachtungen in Gestalt geometrischer Fallunterscheidungen über die möglichen Schnitte von Kurven mit Quadraten und Dreiecken, auch bezüglich allgemeiner \textit{van der Corput}scher Probleme. Verf. ersetzt die \textit{Pfeiffer}schen Ansätze durch die Heranziehung eines Satzes von \textit{Dirichlet} über \textit{Fourier}sche Reihen, der im Spezialfall lautet: Mit nicht notwendig ganzen \(\alpha\) und \(\beta\) mit \(\alpha \leqq \beta\) sei \(F(t)\) für \(\alpha \leqq t \leqq \beta\) reell definiert, und für \(\alpha < \beta\) abteilungsweise monoton und stetig (in den Endpunkten nach innen): ferner sei \[ F(\alpha) = F(\beta) = 0; \] dann ist die Reihe \[ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \int_\alpha^\beta F(t)\, \cos 2\pi kt \, dt \tag{1} \] konvergent mit der Summe \[ \sum_{\alpha \leqq l \leqq \beta} F(l). \] Dieser Spezialfall reicht insbesondere aus, um den \textit{Sierpiński}schen Satz (1906) zu beweisen, daß beim Kreis vom Radius \(x^2\) die Differenz zwischen der Gitterpunktsanzahl und dem Inhalt als \[ O\left( \root\uproot 3 3\of x\right) \tag{2} \] abgeschätzt werden kann. Die allgemeine Methode des Verf. ähnelt der von \textit{van der Corput} in der Arbeit ``Over roosterpunkten in het platte vlak (De beteekenis van de methoden van Voronoï en Pfeiffer)'' (1919; F. d. M. 47, 158 (JFM 47.0158.*)) angewendeten, wo aber an Stelle des erwähnten \textit{Dirichlet}schen Satzes die für das Problem ungünstigere \textit{Euler}sche Summenformel zugrundegelegt wird, die mit ihm verwandt ist. Beim \textit{Sierpiński}schen Problem handelt es sich um den ursprünglich mühevollen Beweis der Identität \[ \int_0^x A(y) \, dy - \sum_{a, b = -\infty}^{+\infty} \int_0^x dy \iint\limits_{u^2+v^2 \geqq y} \cos 2\pi au\, \cos 2\pi bv\, du\, dv = 0 \tag{3} \] (\(A(y)\) für \(y > 0\) Gitterpunktszahl des Kreises vom Radius \(y\)), wo die \(\sum\limits_{a, b}\) absolut konvergiert (vgl. neben der zitierten Arbeit von \textit{van der Corput} die Arbeit des Verf. ``Über die Gitterpunkte in einem Kreise III'', 1920; F. d. M. 47, 158 (JFM 47.0158.*)); (3) hängt mit \textit{Bessel}schen Funktionen zusammen, insbesondere einer von \textit{Bessel} selbst herrührenden Identität. Verf. folgert (3) unmittelbar aus dem angegebenen Spezialfall (1) der \textit{Dirichlet}schen Identität. Auf ähnlichem Wege ergeben sich auch andere Formeln über Besselsche Funktionen bedeutend einfacher als bisher. Eine derselben führt vermittelst eines früheren Ansatzes des Verf. (1919; F. d. M. 47, 157 (JFM 47.0157.*)) rasch zum \textit{Sierpiński}schen Satz (2). Die Anwendung des allgemeinen Analogons von (1) führt ferner auf ähnlichem Wege auf eine neue Identität für die Gitterpunktsanzahl \(A(x)\) selbst, in der ebenfalls Besselsche Funktionen auftreten; sie hängt mit einer tieferliegenden zuerst von \textit{Hardy} (1915; F. d. M. 45, 1253 (JFM 45.1253.*)) bewiesenen Formel zusammen. Auch für diese Identität teilt Verf. einen bedeutend einfacheren neuen Beweis mit, der sich durch Spezialisierung aus der seinerzeit noch unveröffentlichten Arbeit von Verf. und \textit{Hardy} ``On the lattice Points of a circle'' (1924; F. d. M. 50, 114 (JFM 50.0114.*)) ergibt, und dem nur zwei seit langem bekannte \(O\)-Abschätzungen in nicht der höchsten erreichbaren Schärfe zugrunde liegen. Für die allgemeineren Fälle wird dann ein (3) enthaltender Satz auf dem neuen Wege bewiesen, der nunmehr ohne Verwendung \textit{Pfeiffer}scher Betrachtungen auf Grund von Ansätzen von \textit{van der Corput} und dem Verf. einen Zugang zu Satz 3 der \textit{van der Corput}schen Dissertation 1919; F. d. M. 47, 158 (JFM 47.0158.*)) liefert, der das tiefste und allgemeinste mit der \textit{Pfeiffer}schen Methode zugängliche Resultat bildete. Vgl. über die Methode der Arbeit den zweiten Band der \textit{Landau}schen ``Vorlesungen über Zahlentheorie'', Leipzig 1927 (F. d. M. 53, 123 (JFM 53.0123.*)). (IV 6 B.)