Einige Sätze über konvexe Körper in Beziehung zu Punktgittern. (Q1450091)

Betrachtungen im Anschluß an bekannte Sätze von \textit{Minkowski}. Im \((x_1, x_2,\ldots,x_n)\)-Raum sei \(K\) ein konvexer Körper mit Mittelpunkt \(O\). Man definiere \(K_1,K_2,\ldots,K_n\) wie folgt: \(K_1\) sei zu \(K\) ähnlich (in bezug auf \(O\)), enthalte außer \(O\) keinen Gitterpunkt im Innern, aber mindestens einen \(P_1\) auf der Oberfläche; seien \(K_1,K_2,\ldots,K_{\mu -1}\) und \(P_1,P_2,\ldots,P_{\mu -1}\) definiert, dann sei \(K_\mu \) der zu \(K\) ähnliche Körper, der innere Gitterpunkte nur in der Ebene \(OP_1P_2\ldots P_{\mu -1}\) enthält, außerdem auf dem Rande noch mindestens einen nicht in dieser Ebene liegenden Gitterpunkt \(P_\mu \). Das Dilatationsverhältnis \(K_\mu \) zu \(K\) heiße \(F_\mu \). Man kann Koordinaten \(\zeta _1,\zeta _2,\ldots,\zeta _n\) so einführen, daß \(OP_1P_2\ldots P_{\mu -1}\) die \((\zeta _1,\zeta _2,\ldots,\zeta _\mu )\)-Ebene und das \(\zeta \)-Gitter dem \(x\)-Gitter äquivalent wird. Der maximale Betrag der \(\zeta _\mu \)-Koordinate im Schnitte \(S_\mu ^{(n)}\) der \((\zeta _1,\zeta _2,\ldots,\zeta _\mu )\)-Ebene mit \(K_n\) heiße \(M_\mu \); der \(\mu \)-dimensionale Inhalt von \(S_\mu ^{(n)}\) heiße \(V_\mu ^{(n)}\). Es gilt \[ \frac {F_n}{F_\mu } \leqq M_\mu \leqq \mu !\,\frac {F_n}{F_\mu }, \] \[ \frac {F_n^n}{F_1F_2\ldots F_n} \leqq M_1M_2\ldots M_n\leqq n!\,\frac {F_n^n}{F_1F_2\ldots F_n}, \] \[ \frac {V_\mu ^{(n)}}{V_{\mu -1}^{(n)}}\leqq 2\mu !\,\frac {F_n}{F_\mu }. \] Aus dem zweiten folgert Verf. den \textit{Minkowski}schen Satz \[ JF_1F_2\ldots F_n \leqq 2^n n! \] wo \(J\) das Volumen von \(K\) bedeutet (\textit{Minkowski}, Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen, Nachrichten Göttingen 1899, 64-88; F. d. M. 30, 195 (JFM 30.0195.*)). In der ``Geometrie der Zahlen'' (1. Aufl., 1.Lieferung, 1896, S. 211; F. d. M. 27, 127 (JFM 27.0127.*)) hat \textit{Minkowski} diesen Satz schärfer gefaßt: \[ JF_1F_2\ldots F_n \leqq 2^n. \] Verf. gibt einige einfache Beweise dieses Satzes, dessen Beweis bei \textit{Minkowski} sehr ausführliche Betrachtungen erfordert, für die Fälle \(n = 2\) und \(3\) und analysiert einige Induktionsschlußansätze, welche nicht zum Ziel führen. (Vgl. übrigens auch die Untersuchungen des Verf. in seiner Dissertation ``Zur Theorie der arithmetischen Kriterien für die reellen algebraischen Zahlen'', Helsingfors 1917; F. d. M. 46, 245 (JFM 46.0245.*).)