Die Gleichheitsbeziehung in der Mengenlehre. (Q1450096)

Um in \textit{Zermelo}s Axiomatik die inhaltliche Definition der Gleichheit durch eine formale zu ersetzen, setzt Verf. an Stelle des mit dem Begriff der Gleichheit operierenden \textit{Zermelo}schen Bestimmtheitsaxiomes die Definition: Gilt gleichzeitig mit \(x\in a\) stets \(x\in b\) und umgekehrt, so werde \(a= b\) gesetzt. Und das `Axiom der Bestimmtheit': Aus \(a = b\) und \(a\in M\) folgt stets \(b\in M\). Die obenstehende Definition ist, wie Verf. auch hervorhebt, nicht gleichbedeutend mit dem \textit{Zermelo}schen Bestimmtheitsaxiom, da hier die Gleichheit nur eine formal definierte Äquivalenzbeziehung ist und nicht die Identität bedeutet. Aber auch Verf.s Bestimmtheitsaxiom enthält noch nicht die Identität der Gleichheit, sondern setzt lediglich fest, daß `gleiche' Mengen nur gleichzeitig als Element irgend einer Menge auftreten dürfen, wenn es sich überhaupt sinnvoll interpretieren läßt. Bei Identität der Gleichheit dagegen folgt aus Verf.s Definition der Gleichheit, daß es nur eine elementlose Menge, die `Nullmenge' gibt, wodurch die Mengenlehre zwar vereinfacht, aber auch eingeengt wird.