The elements of the theory of real functions. (Q1450100)

Der Inhalt des vorliegenden Buches ist nicht, wie man nach dem Titel erwarten könnte, eine Einführung in die Theorie der reellen Funktionen, sondern eine knappe und klare Darstellung der Grundbegriffe der abstrakten Mengenlehre und der Theorie der Punktmengen. Verf. pflegte in seinen Vorlesungen über diesen Gegenstand, in dem Präzision der Ausdrucksweise unbedingt erforderlich ist, Sätze und Beweise Wort für Wort zu diktieren; aus dieser Vorlesungspraxis ist das Buch (dessen erste Aufl. in den F. d. M. nicht besprochen ist) entstanden. Es enthält demgemäß in kürzester Form den Stoff einer einführenden Vorlesung, ohne die weitläufigen Erläuterungen, die beim Vortrag in der Vorlesung und auch in umfangreicheren Lehrbüchern üblich sind. Natürlich ist es auch unabhängig von einer Vorlesung lesbar, dürfte aber doch wohl in erster Linie für solche Leser wertvoll sein, die mit dem Gebiet schon einigermaßen vertraut sind und deshalb die Kürze und Eleganz der Darstellung, die in manchem eigene Wege geht (eine Einzelheit ist z. B. in der nachstehend besprochenen Note des Verf. veröffentlicht), zu würdigen wissen. - Spezielle Vorkenntnisse werden nicht vorausgesetzt, abgesehen von zwei Stellen, wo auf das \textit{Peano}sche Axiomensystem und auf \textit{Russell}s Typentheorie Bezug genommen wird. Der Standpunkt, den Verf. einnimmt, unterscheidet sich von dem andrer Lehrbücher dadurch, daß er zwar die Grundbegriffe ``Menge'', ``ist Element von'' usw. als gegeben hinnimmt, jedoch das Auswahlaxiom oder, genauer gesagt, das Multiplikationsaxiom, das hier an dessen Stelle tritt, als verdächtig ansieht und daher nicht nur seine Anwendung möglichst weit hinausschiebt, sondern es auch in jedem Falle, wo es gebraucht wird, in die Voraussetzung des Satzes mit aufnimmt. In Kap. I (Classes and cardinal numbers) wird nach einigen vorbereitenden Bemerkungen sofort der Äquivalenzbegriff, der Begriff der Kardinalzahl (als Menge der miteinander äquivalenten Mengen) eingeführt und das Rechnen mit Kardinalzahlen entwickelt. Die endlichen Kardinalzahlen werden übrigens so definiert, daß die vollständige Induktion unmittelbar aus der Definition folgt. Am Schluß des Kapitels wird das Multiplikationsaxiom eingeführt, und mit seiner Hilfe werden die Rechenregeln vervollständigt. -- Kap. II (Well-ordered series) enthält die Theorie der wohlgeordneten Mengen (wobei auf die Einzelheiten des Rechnens mit den Ordnungszahlen nicht näher eingegangen wird), die \textit{Cantor}schen Alephs, eine kurze Bemerkung über das \textit{Burali-Forti}sche Paradoxon und seine Lösung im Rahmen der \textit{Russell}schen Typentheorie, schließlich den Wohlordnungssatz als Folge des Multiplikationsaxioms und Folgerungen daraus. In Kap. III (Other types of series) werden die wichtigsten Ordnungstypen, vor allem der der rationalen Zahlen und des Kontinuums, behandelt. Kap. IV (Elements of the theory of sets of points) bringt die Grundbegriffe der Theorie der Punktmengen im \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum. Die Kürze und Prägnanz der Ausdrucksweise ist gewiß z. T. der sorgfältig durchdachten Terminologie des Verf. zu verdanken; wenn aber ein so allgemein gebräuchliches Begriffspaar wie ``äquivalent''-``ähnlich'' durch ein anderes (``similar''-``ordinally similar'') ersetzt oder das Wort ``compact'' in einer von der üblichen ganz verschiedenen Bedeutung gebraucht wird, so könnte das doch bei einem Lehrbuch zu Bedenken Anlaß geben. Besprechung: I. C. Burkhill, Math. Gazette 13 (1927), 428.