Über Konvergenz von Reihen, deren Glieder durch den Zufall bestimmt werden. (Q1450161)

Die Verf. behandeln folgendes Problem: In der formalen Reihe \[ y_1+y_2+\cdots+y_n+\cdots \tag{*} \] soll \(y_n\) die (endlich oder abzählbar vielen) Werte \(y_n^i\) (\(i=1,2,\ldots\)), und zwar bzw. mit der Wahrscheinlichkeit \(p_n^i\) (\(\sum\limits_i p_n^i=1\)) annehmen. Das Eintreten der Werte in den verschiedenen Gliedern sollen dabei unabhängige Ereignisse sein. Es wird nach der Wahrscheinlichkeit \(P\) für die Konvergenz der Reihe (*) gefragt, insbesondere, wann \(P=1\) ist; ein spezieller Fall dieses Problems, nämlich wenn für \(y_n\) zwei Werte \(c_n\) und \(- c_n\) je mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac12\) eintreten können, findet sich in andrer Formulierung bei \textit{Rademacher} behandelt (1922; F. d. M. 48, 485 (JFM 48.0485.*)). Wird \[ a_n=\sum p_n^i y_n^i,\qquad b_n=\sum_i p_n^i(y_n^i-a_n)^2 \] gesetzt, so ergibt sich als Hauptresultat, daß die Konvergenz von \(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) hinreichend für \(P=1\) ist; diese Bedingungen sind auch notwendig, wenn die \(y_n^i\) in ihrer Gesamtheit beschränkt sind. Schließlich wird eine (nicht sehr aufschlußreiche) notwendige und hinreichende Bedingung für das Eintreten von \(P=1\) im allgemeinsten Falle gegeben. Der erste von \textit{Khintchine} gegebene Beweis des Hauptsatzes schließt an \textit{Rademacher} (l. c.) an; der zweite, weit einfachere, sowie die weiteren Resultate rühren von \textit{Kolmogoroff} her. Von Wichtigkeit ist folgendes (nicht normierte) Orthogonalsystem \(\varphi_n(x)\): Das Intervall \((0,1)\) wird in Teile der Länge \(p_1^i\) unterteilt und \(\varphi_1 (x)\) erklärt durch \[ \varphi_1(x)=y_1^i-a_1 \;\text{im \(i\)-ten Intervall.} \] Ist \(\varphi_{n-1}(x)\) definiert, so wird \(\varphi_n(x)\) so erklärt: Jedes Konstanzintervall von \(\varphi_{n-1}(x)\) wird proportional den Größen \(p^{(i)}_n\) unterteilt und im i-ten Intervall wird \(\varphi_n(x)=y^i_n-a_n\) gesetzt. Die \(p^i_n\) seien dabei bei festem \(n\) monoton abnehmend geordnet. Man sieht sofort, daß in \(\sum \varphi_n(x)\) jede mögliche Reihe \(\sum (y_n-a_n)\) realisiert ist, und daß, \(\sum a_n\) konvergent vorausgesetzt, die Wahrscheinlichkeit der Konvergenz von \(\sum y_n\) gleich dem Maß der Menge ist, auf der \(\sum \varphi_n(x)\) konvergiert. (IV 3 D, IV 16).