A series inversion formula. (Q1450165)

\(\lambda\) sei nicht ganz. Die formal richtigen Umkehrformeln \[ b_m=\frac{\sin\pi\lambda}{\lambda}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{a_n}{m+n+\lambda}; \quad a_m=\frac{\sin\pi\lambda}{\lambda}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{b_n}{m+n+\lambda} \tag{*} \] werden unter Voraussetzung der Konvergenz der ersten Reihen untersucht. Bewiesen wird, daß dann die zweiten Formeln gelten, wobei die Reihen ``eingeschränkt'' \((C, 1)\)-summierbar sind. Das letztere bedeutet für eine Reihe \(\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} u_n\), daß man die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} (u_n+u_{-n})\) im Auge hat. Es werden ferner notwendige und hinreichende Bedingungen für die gewöhnliche \((C,1)\)-Summierbarkeit und für die eingeschränkte und gewöhnliche Konvergenz der zweiten Reihen (*) gegeben. Als interessante Anwendung wird, ohne von den Kreisfunktionen Gebrauch zu machen, die bekannte Tatsache hergeleitet, daß \(\zeta(2n)\) sich rational durch \(\zeta(2)\) ausdrücken läßt.