Reciprocal formulae involving series and integrals. (Q1450166)

Die sehr bemerkenswerte Arbeit enthält zunächst das folgende Reihentheorem: Es sei für ein \(p>1\) die \[ \begin{aligned} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}|a_n|^p &\quad \text{konvergent und} \\ b_n=\dfrac1{\pi}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\dfrac{a_m}{m+n+\frac12} & \quad \text{(\(n\) ganz) gesetzt.} \end{aligned} \] Dann ist auch \[ \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}|b_n|^p \] konvergent, und es gibt eine nur von \(p\) abhängige Konstante \(N_p\), so daß \[ \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}|b_n|^p\leqq N_p^p \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}|a_n|^p \] ist. Ferner ist auch umgekehrt \[ a_n=\frac 1{\pi}\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} \frac{b_m}{m+n+\frac12}. \] Entsprechen sich ähnlich \(\alpha_n\) und \(\beta_n\), jedoch mit dem Exponenten \(\dfrac p{p-1}\), so gilt \[ \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} a_n\alpha_n= \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} b_n\beta_n, \] und insbesondere für \(p=2\), \(\alpha_n=a_n\) \[ \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} a_n^2= \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} b_n^2. \] Dieser Satz wird auf rein arithmetischem Wege hergeleitet und aus ihm ein entsprechendes Integraltheorem gefolgert: Es existiere für ein \(p>1\) \[ \int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^p dx. \] Dann existiert auch für fast alle \(x\) \[ F(x)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{f(t)}{t-x}dt, \] wo für das Integral an der Stelle \(t=x\) der \textit{Cauchy}sche Hauptwert zu nehmen ist. Es existiert ferner und ist dann \[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} |F(x)|^pdx\leqq N_p^p \int\limits_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^p dx. \] Endlich gilt umgekehrt im obigen Sinne \[ f(x)=-\frac1{\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{F(t)}{t-x}dt. \] Entsprechen sich \(g(x)\) und \(G(x)\) analog, aber mit dem Exponenten \(\dfrac{p}{p-1}\), so ist \[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x)dx= \int\limits_{-\infty}^{\infty} F(x)G(x)dx \] und insbesondere für \(p=2\), \(f(x)\equiv g(x)\) \[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} f^2(x)dx= \int\limits_{-\infty}^{\infty} F^2(x)dx. \] Die Reziprozität von \(f(x)\) und \(F(x)\) ist oft behandelt worden; der Integralsatz stammt im wesentlichen von \textit{M. Rieß}. Es werden noch Abschätzungen für das beste \(N_p\) gegeben: \(N_2=1\), \(N_p = N_{\frac{p}{p-1}}\) und \(Ap<N_p< Bp^{4/3}\) für \(p\geqq 2\). (IV 3 C, IV 7.)