Sur les conditions d'application et sur la régularité des procédés de sommation des séries divergentes. (Q1450167)

Der für konvergente Folgen festliegende Limesbegriff soll derart auf divergente Folgen \((S_n)\) erweitert werden, daß die \(S_n\) teils größer, teils kleiner als der verallgemeinerte Limes \(S\) sind, und daß ein möglichst vollkommener Ausgleich zwischen den größeren und den kleineren Werten Sn erzielt wird. Zu diesem Zweck wird \[ S^{\prime}_n=\frac{\mu_1S_1+\mu_2S_2+\cdots+\mu_nS_n}{m_n},\quad (m_n=\mu_1+\cdots+\mu_n; \;\mu_{\nu}\geqq0) \tag{1} \] gesetzt; wenn dann \(\lim\limits_{n\to\infty} S^{\prime}_n = S\) existiert, heißt \(S\) der \textit{verallgemeinerte Limes} von \((S_n)\). \((S_n)\) wird zunächst beschränkt und \(m_n\cong n^{\alpha}\) gedacht (\(\alpha\geqq 0\)). Ist weiterhin in \[ M_n^N=\frac{\mu_{n+1}S_{n+1}+\cdots+\mu_NS_N}{\mu_{n+1}+\cdots+\mu_N} \] der Wert \(N =\varphi(n) > n\) so bestimmbar, daß \(\lim\limits_{n\to\infty} M^N_n=S\) ist, dann wird \((n, N)\) ein \textit{Kompensationsintervall} von \((S_n)\) genannt. Nun wird bewiesen: Dafür, daß \((S_n)\) einen verallgemeinerten Limes der eben genannten Art hat, ist notwendig und hinreichend, daß \(\dfrac{\mu_{n+1}+\cdots+\mu_N}{\mu_N}\to 0\) strebt, wenn \((n, N)\) Kompensationsintervall von \((S_n)\) ist. Für \(m_n = n\) ergibt sich das \textit{Cesàro}sche Verfahren erster Ordnung, für \(m_n = \log n\) das einfachste Verfahren, das ``stärker'' als das \textit{Cesàro}sche ist. Weiter wird gefragt: 1. Gibt es zu beschränktem \((S_n)\) stets eine Folge \((\mu_n)\) der oben genannten Art, so daß \(S^{\prime}_n\) konvergiert? und 2. Ergeben zwei verschiedene solcher Folgen \((\mu_n)\) für dasselbe \((S_n)\) niemals verschiedene Grenzwerte ? -- Die gegebene Antwort befriedigt nicht, da der Begriff der Regularität einer Zahlenfolge nicht mit wünschenswerter Schärfe feststeht. Der Begriff des Kompensationsintervalls wird dann auf allgemeinere Limitierungsverfahren ausgedehnt, und es wird bewiesen: Dafür, daß \((S_n)\) \(B\)-limitierbar ist, ist notwendig und hinreichend, daß \((a, a+l\sqrt{a})\) bei beliebig kleinem \(l>0\) ein Kompensations-intervall von \(S_n\) ist. Jede beschränkte \((C, 1)\)-limitierbare Folge ist \(B\)-limitierbar, jede beschränkte \((C, k)\)-limitierbare Folge (\(k\geqq 2\) ganz) \((C, 1)\)-limitierbar. Schließlich wird gezeigt: Wenn \(|S_n|<C\) ist, wenn \(\alpha (s) = \lim\limits_{n_p\to\infty}\dfrac p{n_p}\) existiert, wo \(p\) die Anzahl der \(S_n < s\) mit \(n < n_p\) ist, und wenn das \textit{Stieltjes}sche Integral \(\int\limits_{-C}^{+C} s d\alpha(s)\) existiert, so stimmt sein Wert mit dem \((C, 1)\)-Limes von \((S_n)\) überein.