Mathematische Miszellen. IV: Bemerkung über Differenzierbarkeit unendlicher Funktionenfolgen. (Q1450203)

Auf Grund eines bestimmten Lemmas über Doppelfolgen, das besagt, daß man den Grenzwert der Zeilenlimites auch als Grenzwert einer Schrägfolge mit wachsenden Zeilen- und Spaltenindices erhalten kann, beweist Verf: Es sei \(f_n(x)\) eine in einem Intervall \(I\) konvergente Folge von \(i\)-mal differenzierbaren Funktionen, und die \(i\)-mal differenzierbare Funktion \(F(x)\) sei der Limes dieser Folge. Dann gibt es zu jedem \(x\) aus \(I\) eine gegen \(x\) konvergierende Folge von Werten \(x_n\) aus \(I\), für die \[ \lim_{n\to \infty} f_n^{(i)}(x_n) = F^{(i)}(x) \] ist. Dabei können die \(x_n\) sämtlich größer als \(x\) gewählt werden, wenn \(x\) vom Endpunkt von \(I\) verschieden ist, bzw. kleiner als \(x\), wenn \(x\) vom Anfangspunkt von \(I\) verschieden ist.