On the differentiability of a real function of two real variables. (Q1450220)

Damit die reelle Funktion \(\varphi(x, y)\) zweier reeller Veränderlicher in einem Punkte \((x, y)\) differenzierbar ist, ist hinreichend, daß entweder \[ \frac{\partial \varphi(x,y)}{\partial x} = \lim_{k\to 0} \frac{\partial \varphi(x,y+k)}{\partial x} \quad \text{ist und} \quad \frac{\partial \varphi(x,y)}{\partial y} \;\text{existiert} \] oder \[ \frac{\partial \varphi(x,y)}{\partial y} = \lim_{h\to 0} \frac{\partial \varphi(x+h,y)}{\partial y} \quad \text{ist und} \quad \frac{\partial \varphi(x,y)}{\partial x} \;\text{existiert.} \] Dieser leicht zu beweisende Satz gibt also eine Definition für die Differenzierbarkeit der Funktion \(\varphi(x,y)\). Verf. geht von einer andern Definition für die Differenzierbarkeit der Funktion \(\varphi(x,y)\) aus und zeigt, daß diese mit der obengenannten völlig gleichwertig ist. Er gibt eine Definition, die ganz analog der Definition der Stetigkeit einer Funktion ist: Die Funktion \(\varphi(x,y)\) nennt man differenzierbar im Punkte \((x, y)\), wenn zu einer beliebig klein gewählten positiven Zahl \(\varepsilon\) stets eine andere positive Zahl \(\delta <\varepsilon\) derart existiert, daß es zwei endliche, nur von \(x\) und \(y\) abhängige Zahlen \(l\) und \(m\) gibt, die der Ungleichung genügen \[ \left| \frac{\varphi(x+h, y+k)-\varphi(x,y)}{ lh+mk} - 1 \right|<\varepsilon \quad \text{für} \quad |h|<\delta, \;|k|<\delta, \] wobei mindestens eine der Größen \(l\) und \(m\) von Null verschieden und \(lh + mk \neq 0\) ist. Mit andern Worten: Es muß \[ \lim_{\substack{ h\to 0 \\ k\to 0}} \frac{\varphi(x+h, y+k)-\varphi(x,y)}{ lh+mk} =1 \] sein, wobei sich \(h\) und \(k\) in beliebiger Weise der Null nähern.