Aufgabe 28. (Gestellt in Jahresbericht D. M. V. 34, 157). Lösungen von G. Doetsch und L. Neder. (Q1450247)

Die Aufgabe lautet: Es sei für \(\infty > x \geqq 0 \quad f(x) > 0\), differenzierbar und es sei für \(x \to \infty\;\dfrac{xf'(x)}{f(x)} \to \sigma\). Dann sagen wir, \(f(x)\) habe den Ordnungsexponenten \(\sigma\). Es habe nun \(f(x)\) den Ordnungsexponenten \(\sigma\). Konvergiert dann das Integral \(\int\limits^{\infty} f(x)dx\), so hat \(\int\limits_{x}^{\infty} f(x)dx\) den Ordnungsexponenten \(\sigma+1\). Divergiert dagegen \(\int\limits^{\infty} f(x)dx\), so hat für \(c\geqq 0 \int\limits_{c}^{x} f(x)dx\) den Ordnungsexponenten \(\sigma+1\). Den ersten Bearbeiter führt die Integration der Gleichung \[ xf'(x) = \sigma f(x) + \delta(x) f(x),\;\delta(x)\to 0\;\text{bei}\;x\to \infty, \] die die Voraussetzung ausdrückt, zum Ziel, wobei jedoch \textit{Lebesgue}sche Integrale benötigt werden. Diese vermeidet der zweite Bearbeiter, indem er die Regel für die Bestimmung ``unbestimmter Formen'' bei \(x\to \infty\) verwendet.