Aufgabe 26. (Gestellt in Jahresbericht D. M. V. 34, 98 kursiv.) Lösungen von M. Krafft und G. Szegö. (Q1450248)

Die Aufgabe lautet: ``Für \(0 \leqq \varphi \leqq \pi\) sei die integrierbare Funktion \(g(\varphi)\) von folgender Beschaffenheit: 1. \(0 \leqq g(\varphi) \leqq 1\), 2. \(\int\limits_0^{\pi} g(\varphi) \cos \varphi\, d \varphi = 0\), 3. es gebe ein \(\alpha\), \( 0 \leqq \alpha \leqq \dfrac{2\pi}{3}\), so daß \(g(\varphi)=0\) im Intervall \(\alpha \leqq \varphi\leqq \alpha +\dfrac{\pi}{3}\). Dann ist notwendig \[ \int\limits_0^{\pi} g(\varphi) \sin \varphi \, d\varphi \leqq 1, \] und zwar gilt das Gleichheitszeichen hier nur für die Funktion \[ g(\varphi) = \left\{ \begin{matrix} \l & \l \\ 0 & \quad \text{für}\;\alpha\leqq \varphi \leqq \alpha +\dfrac{\pi}{3}, \\ 0 & \quad \text{für}\;\left| \alpha +\dfrac{\pi}{6} -\varphi \right| \geqq \dfrac{\pi}{2}, \\ 1 & \quad \text{sonst} \end{matrix}\right. \] und für die mit dieser bis auf eine Nullmenge übereinstimmenden Funktionen. Der erste Bearbeiter gibt eine auf einer geometrischen Deutung beruhende Lösung. (V 6 A.)