Lebesguesche Integrale und Fouriersche Reihen. (Q1450269)

Das Buch gibt in klarer und knapper Weise einen Überblick über die Theorie des \textit{Lebesgue}schen Integrals und seiner Anwendung in der Theorie der \textit{Fourier}schen Reihen, so daß es ohne Schwierigkeiten von einem Studenten in mittleren Semestern gelesen werden kann. Im ersten Abschnitt finden wir die Grundbegriffe der Mengenlehre zusammengestellt, soweit sie für das Folgende gebraucht werden. Nachdem der Begriff der Mächtigkeit und der Begriff der Grenzmenge eingeführt sind, wird das Nötigste von den Punktmengen zusammengestellt. Der zweite Abschnitt enthält die \textit{Lebesgue}sche Maßtheorie. Nachdem der Begriff des äußeren und inneren Maßes einer Punktmenge mit seinen Eigenschaften aufgestellt ist, findet sich ein Beweis für die Invarianz des Maßes bei Bewegungen und Umlegungen. Klar herausgearbeitet werden die Beziehungen des älteren \textit{Peano-Jordan}schen Maßbegriffes zu dem neueren \textit{Lebesgue}schen. Der dritte Abschnitt gibt einen allgemeinen Überblick über Funktionen von reellen Veränderlichen (Begriff der stetigen und halbstetigen Funktionen und der \textit{Baire}schen Funktionenklassen). Der vierte Abschnitt beschäftigt sich mit dem \textit{Lebesgue}schen Integral, wobei sich die Verf. an die ursprüngliche geometrische Darstellung in der Thèse \textit{Lebesgue}s halten. Das Integral wird zunächst bei nicht negativen Funktionen als Maß der Ordinatenmengen definiert. Es findet sich weiter der Begriff der meßbaren Funktion. Der Integralbegriff wird dann auf Funktionen beliebigen Vorzeichens ausgedehnt. Nach Definition des unbestimmten Integrals werden die Derivierten einer Funktion eingeführt. Am Schlusse dieses Abschnitts werden andere (arithmetische) Definitionen des \textit{Lebesgue}schen Integrals angegeben (\textit{Lebesgue, Young, F. Riesz}) und schließlich klar der Zusammenhang zwischen dem \textit{Riemann}schen Integral und dem \(L\)-Integral herausgearbeitet. Im sechsten Abschnitt wird die allgemeine Theorie für den Fall der Funktionen einer und zweier Veränderlichen spezialisiert und verallgemeinert. Ausführlich werden die Intervallfunktionen von beschränkter Wertsumme und die monotonen Punktfunktionen behandelt. Hier findet sich der Satz von \textit{Fubini}. Im letzten Abschnitt werden die erzielten Ergebnisse für die Theorie der \textit{Fourier}reihen verwertet. Nach dem \textit{Riemann-Lebesgue}schen Satz über die \textit{Fourier}koeffizienten werden Konvergenzkriterien angegeben, darunter das schöne und umfassende \textit{Lebesgue}sche Kriterium. Am Schluß des Buches finden sich zwei Summations- und Auswertungsmethoden, um aus der Fourierreihe die zugehörige Funktion zu ermitteln (\textit{Lebesgue, Fejér}) und die Sätze von \textit{Parseval} und \textit{Riesz-Fischer}. (IV 3 D.) Besprechungen: H. Pollaczek-Geiringer, Z. f. angew. Math. 6, 510-511; K. Menger, Monatshefte f. Math. 35 (1928), 10; Salkowski, Unterrichtsblätter 33 (1927), 190; P. Heegaard, Norsk Mat. Tidsskrift 8, 70-71; B. v. Kerékjártó, Acta Szeged 2, 260; D. Mirimanoff, Enseignement 25, 316-317; F. Simonart, Revue des questions scient. (4) 10, 209-210; H. J. Ettlinger, Bulletin A. M. S. 33 (1927), 110-113; M. H. Stone, Amer. Math. Monthly 33, 476.