The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier series. 2nd ed. revised and enlarged. Vol. I (1921), II. (Q1450270)

Das vorliegende Werk ist gegenüber der im Jahre 1907 erschienenen ersten Auflage [JFM 38.0414.01] auf den doppelten Umfang angewachsen. Es ist ein sehr breit angelegtes, durch seinen reichen Inhalt wie durch die klare und übersichtliche Darstellung erfreuendes Kompendium der reellen Analysis. Erhöht wird seine Brauchbarkeit durch zahlreiche Literaturhinweise, die wenigstens im zweiten Bande auch mit Jahreszahlen versehen sind. Ganz unzureichend ist leider das Register, was bei einem Buche vom Charakter des vorliegenden besonders schwer wiegt. Wir nennen im folgenden die Kapitelüberschriften; die beigefügten Stichworte sollen den Inhalt der einzelnen Kapitel nicht erschöpfend wiedergeben, sondern nur den Aufbau in großen Zügen, oft unter Weglassung des Selbstverständlichen, skizzieren und Bemerkenswertes hervorheben. Band I. 1. \textit{Number} (Ausgehend von der endlichen Ordnungszahl, wird der Aufbau des Systems der reellen Zahlen, und zwar nach Cantor und nach Dedekind, geschildert). 2. \textit{Descriptive properties of sets of points.} 3. \textit{The metric properties of series of points.} 4. \textit{Transfinite numbers and order types} (Enthält einen recht weitgehenden Abriß der Mengenlehre und geht, wie auch Kapitel 1, auf Grundlagenfragen ein). 5. \textit{Functions of a real variable} (Stetigkeitseigenschaften, Unstetigkeiten, Klassifizierung der unstetigen Funktionen, Funktionen von beschränkter Variation, auch solche von zwei Veränderlichen (nach Arzelà und nach Hardy und Krause), Extremwerte, Derivierte, doppelte und nacheinander ausgeführte Grenzübergänge bei Funktionen von zwei Veränderlichen, partielle Differentialquotienten, implizite Funktionen, Peanosche Kurve). 6. \textit{The Riemann integral} (einschließlich Riemann-Stieltjes integral). 7. \textit{The Lebesgue integral} (Meßbare Funktionen, das \(L\)-Integral; Integraldefinition nach W. H. Young und Pierpont durch Verallgemeinerung des oberen und unteren \(R\)-Integrals; Einfache Sätze über \(L\)-Integrale von Grenzfunktionen; unbestimmtes Integral, der Hauptsatz der Integralrechnung für \(L\)-Integrale, das unbestimmte Integral als Mengenfunktion, das unbestimmte Integral für Funktionen von mehreren Veränderlichen; partielle Integration, Mittelwertsätze; nacheinander ausgeführte Integrationen; Approximation summierbarer Funktionen durch stetige; Transformation der unabhängigen Veränderlichen; Harnacks Integraldefinition, Lebesgue-Stieltjes-Integral, Hellingersches Integral). 8. \textit{Non-absolutely convergent integrals} (Harnack-Lebesguesches, Denjoysches, Youngsches Integral). Bd. II. 1. \textit{Sequences and series of numbers} (Enthält einen bemerkenswert vollständigen Abriß der Konvergenztheorie der unendlichen Reihen im Reellen, ferner die Summierung divergenter Reihen nach Cesàro, Hölder und Riesz). 2. \textit{Functions defined by sequences or series} (Gleichmäßige Konvergenz und Verwandtes, Stetigkeit der Grenzfunktion, Punkte nicht gleichmäßiger Konvergenz, monotone Funktionenfolgen, gleichmäßig oszillierende Folgen, Familien gleichgradig stetiger Funktionen). 3. \textit{Power-series} (Insbesondere das Verhalten in den Enden des Konvergenzintervalles, Taubersche Sätze). 4. \textit{Functions representable by series or sequences of continuous functions} (Der Weierstraßsche Approximationsatz, Konvergenz im Mittel, die Klassen \([L^p]\), Bairesche Klassen, die Primitiven einer meßbaren Funktion). 5. \textit{Sequences of integrals} (Bedingungen für die vollständige Integrabilität einer konvergenten Folge integrierbarer Funktionen, Oszillation von Folgen von Integralen, Differentiation einer Reihe, Umkehrung der Integrationsreihenfolge, Differentiation eines Integrals nach einem Parameter, verallgemeinerte Integrale, Äquivalenz des Integrals von W. H. Young und Pierpont (vgl. Bd. I, 7) mit dem \(L\)-Integral, Definition des Integrals mittels monotoner Funktionenfolgen nach W. H. Young, Tonellis Integrationstheorie, Perronsches Integral, Summierung von Integralen). 6. \textit{The construction of functions with assigned singularities} (Verdichtung der Singularitäten nach Hankel, nach Cantor; nicht differenzierbare Funktionen; differenzierbare, überall oszillierende Funktionen). 7. \textit{The representation of functions as limits of integrals} (Es handelt sich um sehr allgemeine Darstellungen durch Folgen vom Typus des Dirichletschen Integrals; Integrale, die auf Polynomapproximationen führen; Konvergenz von Integralen über Produkte von Funktionen). 8. \textit{Trigonometrical series} (Überbück und Historisches; die \textit{Dirichlet}schen Untersuchungen, die von \textit{Bonnet, C. Neumann, Jordan}, die sich auf den zweiten Mittelwertsatz der Integralrechnung stützen; Bedingungen für die Konvergenz in einem Punkt und in einem Intervall; Konstruktion stetiger Funktionen, deren Fourierreihe in gewissen Punktmengen divergiert; Fejérsche Mittel, \((C, k)\)-Summierbarkeit; Eigenschaften der Fourierkonstanten; Parsevalscher Satz nebst Verallgemeinerungen, Riesz-Fischerscher Satz; Bedingungen dafür, daß eine Zahlenfolge Fouriersche Konstanten darstellt, Konjugierte einer \textit{Fourier}schen Reihe, Konvergenzfaktoren für Fouriersche Reihen, Poissonsche Summierung; Differentiation von Fourierschen Reihen; Riemanns Theorie und anschließende Untersuchungen betreffend die Darstellung einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe; Fragen nach der Einzigkeit der Darstellung, neuere Untersuchungen von Hardy, Littlewood, Rajchmann und andern; eingeschränkte Fourierreihen von W. H. Young; Doppelte Fourierreihen, insbesondere für Funktionen von beschränkter Variation (vgl. Bd. I, 5), Konvergenz, Summierung, Parsevalscher Satz). 9. \textit{The representation of functions by Fourier's integrals} (Das einfache Fourier integral, das Doppelintegral, Summierbarkeit, Fouriersche Transformierte). 10. \textit{Series of normal orthogonal functions} (Konvergenzfragen, Parsevalscher, Riesz-Fischerscher Satz, Sätze von Weyl, Rademacher, Kaczmarz, Menchoff, Reihen nach Sturm-Liouvilleschen Funktionen). (III, IV 2, IV 3 D.) Besprechungen: C. N. Moore, Bull. Am. Math. Soc. 28 (1922), 266--268; R. D. Carmichael, Bull. Am. Math. Soc. 33 (1927), 115--118; W. H. Young, G. C. Young, Math. Gaz. 14 (1928), 98--104; G. Juvet, Rev. générale des sci. 37, 585--586; J. C. B., Nature 118, 112--113.