Über ``dichte'' Funktionenfamilien. (Q1450338)

Unter einer dichten Funktionenfamilie versteht man nach \textit{Ch. H. Müntz} (1914; F. d. M. 45, 677 (JFM 45.0677.*)) eine Menge von Funktionen \(f(\lambda, x)\) von \(x\) in einem Intervall \(a \leqq x \leqq b\), deren Parameter \(\lambda\) eine beliebige Menge reeller Werte mit \(\infty\) als Häufungsstelle durchläuft, und die die Eigenschaft besitzt, daß sich jede in \(\langle a, b\rangle\) stetige Funktion durch lineare Aggregate einer beliebigen Teilfolge \(f (\lambda_n, x)\) mit \(\lambda_n \to \infty\) gleichmäßig beliebig genau approximieren läßt. Verf. beweist nun in Verallgemeinerung eines von \textit{Müntz} gegebenen Beispiels, daß die Familie \[ f(\lambda, x) = \sum_{\nu=1}^\infty c_\nu r_\nu^\lambda (\cos 2\pi\nu x -1) \] mit \(\lambda \geqq 0, r_1 > r_2 > r_3 > \cdots\), \(\lim r_\nu = 0\) und konvergenter \(\sum\limits_{\nu = 0}^\infty |c_\nu|\) in jedem inneren Intervall von \(\langle 0, \frac 12\rangle\) dicht ist. Der sehr einfache Beweis beruht im wesentlichen auf dem \textit{Weierstraß}schen Approximationssatz. Ebenso wird ein von \textit{Szász} (1918; F. d. M. 46, 420 (JFM 46.0420.*)) angegebener Fall verallgemeinert, indem gezeigt wird, daß die Familie \[ f(\lambda, x) = \sum_{\nu = 1}^\infty c_\nu r_\nu^\lambda \sin 2\pi \nu x \] bei derselben Bedeutung der Bezeichnungen wie oben in denselben Intervallen dicht ist. Zuletzt wird noch in \(\dfrac 1{\lambda + x}\) in \(0 \leqq x \leqq 1\) ein ganz einfaches Beispiel einer dichten Familie gegeben.