Beiträge zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. I: Funktionen einer Variablen. (Q1450349)

Das Hauptziel der Arbeit ist ein neuer Beweis des Approximationssatzes in der Theorie der fastperiodischen Funktionen. Genau gesagt wird folgender schärfere Satz bewiesen: Es sei eine Zahlenmenge \(L = (\varLambda_1, \varLambda_2, \varLambda_3, \dots)\) gegeben. Man kann ein Schema rationaler Koeffizienten \(r^{(m)}_{\varLambda_n}\) \((m, n = 1, 2, 3, \dots)\) angeben, in welchem bei festem \(m\) nur endlich viele von Null verschieden sind, so daß für jede fastperiodische Funktion \(f(x)\) mit der \textit{Fourier}reihe \(A_n e^{i \varLambda_n x}\) (mit \(\varLambda_n\) aus \(L\)) die \textit{Fourier}polynome \[ S_m (x) = \sum r^{(m)}_{\varLambda_n} A_n e^{i \varLambda_n x} \] gleichmäßig gegen \(f (x)\) konvergieren. Der Beweis ist dem \textit{Fejér}schen der Mittelkonvergenz für \textit{Fourier}reihen nachgebildet, wobei man jedoch die Ausdrücke für die arithmetischen Mittel \[ S^a_n (x) = \sum_{\nu = - n}^{+n} \left( 1 \frac {|\nu|}nA_{\nu\alpha} e^{i \nu\alpha x} \right) \] durch \[ \sum_{\nu_1 = -(m!)^2}^{+(m!)^2} \cdots \sum_{\nu_m = -(m!)^2}^{(m!)^2} \left(1 - \frac {|\nu_1|}{(m!)^2} \right) \cdots \left( 1 \frac {|\nu_m|}{(m!)^2} \right) A_{\nu_1 \frac {\beta_1}{m!} + \cdots + \nu_m \frac {\beta_m}{m!}} e^{i\left( \nu_1 \frac {\beta_1}{m!} + \cdots + \nu_m \frac{\beta_m}{m!}\right) x} \] zu ersetzen hat, wenn \(\beta_1, \beta_2, \dots\) eine Basis von \(L\) bedeutet. Nach Herleitung einiger Nebenergebnisse wird die zu einer beschränkten Funktion \(f (x) (-\infty < x <+ \infty )\) gehörige ``Verschiebungsfunktion'' durch \[ v_f(\tau) = \underset{-\infty < x < +\infty}{\text{ obere Grenze}} | f (x + \tau) - f (x)| \quad (- \infty < \tau < \infty) \] erklärt. Insbesondere interessieren die Verschiebungsfunktionen von fastperiodischen \(f(x)\). \(v_f(\tau)\) ist offenbar dann und nur dann fastperiodisch, wenn \(f(x)\) fastperiodisch ist. Notwendig und hinreichend dafür, daß eine beliebige Funktion \(e(\tau)\) fastperiodische Verschiebungsfunktion ist, ist, daß sie den Bedingungen genügt: a) \(e (\tau) \geqq 0, \, \, e(0) = 0\), b) \(e (\tau) = e (-\tau), \) c) \(e (\tau_1 + \tau_2) \leqq e (\tau_1) + e (\tau_2)\), d) \(e (\tau)\) ist fastperiodisch, oder aber d\({}^*\)) \(e (\tau)\) ist stetig im Punkt \(\tau = 0\), und für jedes \(\varepsilon\) liegen die Punkte \(\tau\), für welche \(e (\tau) \leqq \varepsilon \) ist, relativ dicht auf der \(\tau\)-Achse. Es folgt eine Reihe von Eigenschaften der Verschiebungsfunktion. Endlich wird eine neue Definition der fastperiodischen Funktionen mit Hilfe von Normalfunktionen gegeben. Darunter versteht man eine für \(-\infty < x < \infty\) stetige Funktion \(f (x)\) mit der Eigenschaft, daß aus jeder Folge \(f(x + k_\nu)\) mit irgendwelchem reellen \(k_\nu\) stets eine gleichmäßig konvergente Teilfolge ausgewählt werden kann. Dann gilt: Jede fastperiodische Funktion ist Normalfunktion und umgekehrt.