On generalized almost periodic functions. (Q1450352)

Verf. zeigt zunächst, daß in der Klasse der nach \textit{Bohr} fastperiodischen Funktionen, sowie auch in der erweiterten Klasse von \textit{Stepanoff} (vgl. die vorstehende Besprechung) der \textit{Riesz-Fischer}sche Satz nicht gilt, d. h. also: Wenn man \textit{Fourier}exponenten \(\lambda_1, \lambda_2, \dots\) willkürlich vorschreibt und \textit{Fourier}koeffizienten \(a_1, a_2,\dots\) von konvergenter Quadratsumme der Beträge gibt, so muß es nicht immer eine fastperiodische Funktion geben, die die \(\lambda_\nu\) als Exponenten und die \(a_\nu\) als Koeffizienten hat. Der Beweis wird dadurch geführt, daß geeignete Folgen \(\lambda_\nu\), \(a_\nu\) angegeben werden und die Annahme einer zugehörigen fastperiodischen Funktion in Widerspruch zur Vollständigkeitsrelation gebracht wird. Das nächste Ziel ist, den Begriff der Fastperiodizität nun so zu erweitern, daß der \textit{Riesz-Fischer}sche Satz noch gilt. Dies geschieht in folgender Weise: Eine Funktion \(f (x)\) heiße verallgemeinert (generalized) fastperiodisch, wenn es eine Folge von im \textit{Bohr}schen Sinn fastperiodischen Funktionen \(s_1(x), s_2(x),\dots, s_m(x),\dots\) gibt, so daß \[ \lim_{n \to \infty} \left\{ \lim_{T \to \infty}\sup \frac 1T \int_0^T | f (x) - s_n(x)|^2 \, dx \right\} = 0 \] gilt. Aus der Definition folgt zunächst, daß \[ M\{|f (x) |^2 \} \text{ und } M\{| f(x) - s_n (x) |^2\} \] existieren, und zwar ist \[ M\{| f(x)|^2\} = \lim_{n \to \infty} M\{|s_n(x)|^2\}, \] \[ M \{f(x) e^{-i \lambda x}\} = \lim_{n \to \infty} M \{s_n(x)e^{-i \lambda x}\}. \] Daraus erschließt man unmittelbar, daß \(M \{f(x) e^{-i \lambda x}\}\) nur für solche Werte von \(\lambda\) von Null verschieden ausfallen kann, für welche \(\lambda\) \textit{Fourier}exponent mindestens einer der Funktionen \(s_n (x)\) ist. Ordnet man \(f(x)\) also alle \textit{Fourier}exponenten von allen \(s_n(x)\) zu, und die Koeffizienten \(a_n = M(f e^{-i \lambda_n x})\), so ist damit eine \textit{Fourier}reihe von \(f (x)\) erklärt. Für die verallgemeinerten fastperiodischen Funktionen gilt nun die Volständigkeitsrelation \(M \{ | f |^2 \} = \sum | a_n|^2\) sowie der \textit{Riess-Fischer}sche Satz in dem eingangs erwähnten Sinn. Die zu gegebenen \(\lambda_\nu\), \(a_\nu\) (\(\sum |a_\nu|^2\) konvergent) gehörige Funktion wird wie folgt konstruiert: Man setze \[ s_n (x) = \sum_{\nu =1}^n a_\nu e^{-i\lambda_\nu x}, \quad s_0 = 0, \] teile die \(x\)-Achse in geeignet gewählte Intervalle \(i_\nu\) und setze in \(i_\nu \, f(x) = s_\nu(x)\). Dann zeigt man für jedes \(k\) \[ \lim_{T \to \infty} \frac 1T \int_0^T |f(x) - s_k (x)|^2 \, dx = \sum_{\nu = k+1}^\infty |a_\nu|^2, \] was für \(k \to \infty\) bzw. \(k= 0\) die verlangten Eigenschaften liefert, \(f(x)\) ist bis auf eine additive Funktion \(h (x)\) mit \[ \frac 1T \int\limits_{\substack{ 0 \\ T \to \infty}}^T |h(x)|^2 \, dx \to 0 \] eindeutig bestimmt. Endlich zeigt Verf. noch, daß das Analogon zum du \textit{Bois-Reymond}schen Satz für reinperiodische Funktionen nicht gilt. Es kann nämlich jede für \(-\infty < x < \infty\) stetige Funktion \(F(x)\), die in jedem endlichen Intervall von beschränkter Variation ist, und für die \[ \lim_{x \to \infty} \frac {F(x)}x = 0 \] gilt, auf unendlich viele Arten in eine Reihe der Form \(\sum a_n e^{i \lambda_n x}\) entwickelt werden. Diese wird dadurch hergestellt, daß man \(F (x)\) durch eine Summe von reinperiodischen Funktionen mit verschiedenen Perioden zerlegt.