On the continuity module of the sum of the series conjugate to a Fourier series. (Q1450384)

Im Anschluß an Ergebnisse von \textit{Fatou} (1900; F. d. M. 37, 283 (JFM 37.0283.*)) und \textit{Priwaloff} (1916; F. d. M. 46, 540 (JFM 46.0540.*)) beweist Verf. den folgenden Satz: Ist \(\omega(\delta)\) der Stetigkeitsmodul einer periodischen Funktion \(f (x)\) mit der Periode \(2\pi\), d. h. \[ \omega(\delta)=\max_{|x_2-x_1|\leqq\delta}|f(x_2)-f(x_1)|, \] so gilt für den Stetigkeitsmodul \(\omega_1(\delta)\) der zu \(f (x)\) konjugierten Funktion \[ \omega_1(\delta)\leqq C\left(\int\limits_0^\delta\frac{\omega(t)}t\,dt+ \delta\int\limits_0^\pi\frac{\omega(t)}{t^2}\,dt\right), \] wobei die Konstante \(C\) von \(\delta\) unabhängig ist. Dieses Ergebnis läßt sich insofern nicht verbessern, als Verf. zeigt, daß man zu jedem differenzierbaren \(\mu(x)\) mit folgenden Eigenschaften: \(\mu(0) = 0\), \(\mu(x)\) nicht abnehmend, \(\mu'(x)\) nicht zunehmend für \(0\leqq x\leqq\pi\), \[ \int\limits_0^\pi\frac{\mu(t)}t\,dt\;\text{divergent}, \] eine stetige Funktion \(f (x)\) mit der Periode \(2\pi\) konstruieren kann, für deren \(\omega(\delta)\) in \(0\leqq\delta\leqq\pi\) gilt \[ \omega(\delta)\leqq\mu(|\delta|), \] und deren konjugierte Funktion \(g(x)\) unstetig (und sogar unbeschränkt) ist.