Developments in Legendre polynomials. (Q1450401)

erf. beweist auf elementarem Wege folgende Sätze über die \textit{Legendre}schen Polynome \(P_n(x)\): 1. Ist \(f (x)\) eine Funktion, die die Gestalt \[ f(x)=f(-1)+xf'(-1)+\int\limits_{-1}^x\int\limits_{-1}^yf''(z)\,dz\,dy \] hat, und ist \(\int\limits_{-1}^{+1}f''{}^2(x)\,dx\) vorhanden, bedeutet ferner \(c_\nu\) den Ausdruck \[ \frac{2\nu+1}2\int\limits_{-1}^{+1}f(x)P_\nu(x)\,dx \] so konvergiert \(\sum\limits_{\nu=0}^\infty c_\nu P_\nu(x)\) (\(-1\leqq x\leqq+1\)) gleichmäßig gegen \(f(x)\). 2. Hat \(f (x)\) die Gestalt \[ f(x)=f(-1)+\int\limits_{-1}^xf'(x)\,dx\qquad \Big(\int\limits_{-1}^{+1}f'{}^2(x)\,dx\;\text{vorhanden}\Big), \] so konvergiert \(\sum c_\nu P_\nu(x)\) für \(-1\leqq x\leqq+1\) gegen \(f (x)\); die Konvergenz ist gleich\-mäßig, wenn \(-1<\delta\leqq x\leqq\varepsilon<+1\) (\(\delta\), \(\varepsilon\) fest). 3. Ist \(-1<a<1\) und eine Funktion durch \[ f(x)\equiv0\quad (-1\leqq x<a),\quad f(a)=\tfrac12,\quad f(x)\equiv1\quad (a<x\leqq+1) \] definiert, so konvergiert \(\sum c_\nu P_\nu(x)\) für \(-1\leqq x\leqq+1\) gegen \(f (x)\) und zwar gleichmäßig, wenn \(-1<\delta\leqq x\leqq\varepsilon<a\) oder \(a<\delta_1\leqq x\leqq\varepsilon_1<+1\).