Beiträge zur Theorie der Laguerreschen Polynome. I. Entwicklungssätze. (Q1450405)

Verf. untersucht die Entwicklung einer Funktion \(f(x)\) nach \textit{Laguerre}schen Polynomen \(L_n^{(\alpha)} (x) (\alpha > -1)\) \[ f(x) \sim \sum_{\nu = 0}^\infty c_\nu L_\nu^{(\alpha)} (x), \] und zwar zunächst die Konvergenz der \textit{Cesàro}schen Mittel \[ \frac{1}{\left( {n+k \atop n}\right)} \sum_{\nu = 0}^n \left( {\nu+k \atop \nu}\right) c_{n-\nu} L_{n-\nu}^{(\alpha)} (x_0) \qquad n=1, 2, \dots, x_0 \text{ fest.} \] \(f(x_0)\) sei stetig; es handelt sich darum, die untere Grenze \(k_0 = k_0(x_0)\) aller Zahlen \(k\) anzugeben, für die die Mittel konvergieren. Auf Grund einfacher Abschätzungen, die aus \[ e^{-x} x^{\tfrac{\alpha}{2}}L_n^{(\alpha)} (x) = \frac 1{n!} \int_0^\infty e^{-\omega} \omega^{n + \tfrac{\alpha}{2}} J_\alpha \left( 2 \sqrt{\omega}x \right) \, d\omega \] folgen, wird \(k_0(0) = \alpha + \frac 12\) nachgewiesen. Sodann wird eine asymptotische Entwicklung für die \(L_n^{(\alpha)}(x)\), wieder unter Heranziehung \textit{Bessel}scher Funktionen, abgeleitet und diese dazu benutzt, zu zeigen, daß für die Partialsummen \(s_n(x)\) der obigen Reihe (unter gewissen sehr allgemeinen Voraussetzungen über \(f(x)\)) die Darstellung \[ s_n (x) = \pi^{-1} \int\limits_{\sqrt{x} - h}^{\sqrt{x} + h} f(\tau^2) \, \frac{\sin 2\sqrt{n} (\sqrt{x} - \tau)}{\sqrt{x} - \tau} \, d\tau + \varepsilon_n(x), \quad \varepsilon_n \to 0 \] Damit ist das Verhalten der Reihe durch das Verhalten der \textit{Fourier}reihe einer Funktion, die mit \(f(\tau^2)\) für \(\tau = \sqrt{x}\) übereinstimmt, beschrieben. -- Nach bekannten Formeln ordnen sich die \textit{Hermite}schen Polynome den durchgeführten Betrachtungen unter. (IV 6 A.)