On Laguerre's series. I. (Q1450406)

Es wird folgender Satz über die \textit{Laguerre}schen Polynome \(L_n^{(\alpha)}(x)\) bewiesen: Ist die Funktion \(f(x)\) so beschaffen, daß das \textit{Lebesgue}sche Integral \[ \int_0^\infty e^{-at} t^\alpha |f(t)| \, dt, \quad \alpha > -1, \] für jede Zahl \(a > \frac 12\) vorhanden ist, dann konvergiert \[ F(x, r) = \sum_{n=0}^\infty a_n^{(\alpha)} L_n^{(\alpha)}(x) r^n, \quad a_n^{(\alpha)} = \frac{\varGamma(n+1)}{\varGamma(n+a+1)} \int_0^\infty e^{-t} t^\alpha L_n^{(\alpha)}(t) f(t) \, dt \] für \(| r | < 1\), und es ist \(\lim\limits_{r\to +1} F(x, r) = f (x)\) an jedem Stetigkeitspunkt von \(f(x)\). Ist \(x_0\) ein Stetigkeitspunkt von \(f(x)\), und konvergiert die Reihe für \(x = x_0\) und \(r = 1\), so ist ihre Summe gleich \(f(x_0)\).