Notes on two theorems of Norbert Wiener. (Q1450420)

In der, auch in der vorangehenden Besprechung erwähnten, Zeitschriftarbeit \textit{N. Wiener}s werden u. a. Sätze bewiesen, die in der Besprechung jener Arbeit (F. d. M. 51, 228 (JFM 51.0228.*)-230) unter 1., 2. und 6. formuliert sind. Die vorliegende Note zeigt, daß der Kern dieser Sätze, deren Beweise bei \textit{Wiener} ziemlich lang sind, in den folgenden Behauptungen liegt (wegen der Definitionen vgl. man die erwähnte Besprechung): A. Wenn \(f\) fast beschränkt ist und \[ F = F(x, y) = \frac 1\pi \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \frac{\sin y(t-x)}{t-x} \, dt \] gesetzt wird (das Integral im Sinne der Konvergenz im Mittel verstanden), so konvergiert \(F\) in jedem endlichen Intervall \((a, b)\) ``fast im Mittel'' gegen \(f\). B. Wenn \(f\) fast beschränkt ist und einen Mittelwert \(\mu\), hat, so ist \[ \lim_{h \to 0} \frac{1}{\pi h} \int_{-\infty}^{+\infty} f^2 \frac{\sin^2 hx}{x^2} \, dx = \mu. \] Diese Behauptungen werden ziemlich kurz bewiesen.