A note on Hankel transforms. (Q1450424)

Beweis für den Hauptsatz der Theorie der \textit{Hankel}schen Transformationen: Ist \(f\) eine Funktion der Klasse \(L^p \, \, (1 < p \leqq 2)\), so konvergiert das Integral \[ I = \int_0^\infty J_\nu(xt) (xt)^{\frac 12} f(t) \, dt \quad (\nu \geqq -\frac 12) \] im Mittel gegen eine Funktion \(F(x)\) der Klasse \(L^{p/(p-1)}\) und es ist \[ \int_0^\infty |F(x)|^{p/(p-1)} \, dx < A\left(\int_0^\infty |f(x)|^p \, dx\right)^{1/(p-1)}, \] wo \(A\) eine nur von \(p\) abhängende Konstante ist; der Beweis ist auch auf andere Transformationen anwendbar, nämlich solche, in denen die \textit{Bessel}schen Funktionen durch andere ersetzt sind, die sich im Unendlichen ähnlich verhalten. (IV 7.)