Mathematische Miszellen. VII: Über Singularitäten gewisser mit Lücken behafteten Potenzreihen. (Q1450463)

Verf. gibt hier sehr einfache und elegante Beweise für einige Sätze von \textit{Mandelbrojt} über den Zusammenhang zwischen den Lücken einer im Einheitskreis konvergenten Potenzreihe \[ f(z)=\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu z^\nu \tag{1} \] und ihren Singularitäten auf dem Rande (1923, 1924, 1926; F. d. M. 49, 236 (JFM 49.0236.*); 50, 234; 51, 246). Zuerst wird in Verschärfung eines \textit{Mandelbrojt}schen Satzes bewiesen: Wenn (1) auf \(| z | = 1\) \ \(k\) Pole der Ordnung \(m\) und sonst daselbst keine Singularitäten als höchstens Pole niedrigerer Ordnung hat, so muß von einem gewissen Index an unter \(k\) aufeinanderfolgenden Koeffizienten wenigstens einer von Null verschieden sein. Der Beweis beruht auf der einfachen Tatsache, daß, wenn \(\alpha_1\), \(\ldots\), \(\alpha_k\) voneinander verschiedene Zahlen vom Betrage 1 und \(c_1\), \(\ldots\), \(c_k\) irgendwelche Konstanten sind, eine von \(n\) unabhängige Schranke 8 existiert, derart, daß unter den \(k\) Zahlen \[ c_1\alpha_1^{n+\varkappa} +\cdots + c_k\alpha_k^{n+\varkappa} \qquad (\varkappa = 0,\,\ldots,\, k- 1) \] mindestens eine größer ist als \(\gamma\). Die weiteren Sätze beruhen auf folgendem einfachen Prinzip: \(\zeta\) bezeichne eine primitive \(q\)-te Einheitswurzel; dann ist \[ f(z)+\zeta^{-r}f(\zeta z) +\zeta^{-2r} f(\zeta^2 z) + \cdots + \zeta^{-(q-1)r} f(\zeta^{q-1}z)=q\varphi(z), \tag{2} \] wo \(\varphi (z)\) die Summe derjenigen Glieder aus (1) bezeichnet, deren Indices alle der Restklasse \(r \bmod q\) angehören. Setzt man voraus, daß fast alle diese Glieder fehlen, so zeigt (2) sofort, daß es zu jeder Singularität \(\alpha\) auf \(|z| = 1\) eine zweite, \(\varepsilon\alpha\) gibt, wo \(\varepsilon\) eine \(q\)-te Einheitswurzel ist. Analoges läßt sich aussagen, wenn die Koeffizienten zu je einer Restklasse zu verschiedenen Moduln fast alle fehlen. Ist die Restklasse \(r\) unter den Indices \(n\) mit nicht verschwindenden \(a_n\) so schwach vertreten, daß \(\varphi(z)\) den Einheitskreis zur natürlichen Grenze hat, so besitzt die Menge der Singularitäten auf \(| z |=1\) die Mächtigkeit des Kontinuums; aus der Abgeschlossenheit der Singularitätenmenge auf dem Kande folgt, daß es dort wieder mindestens zwei verschiedene Singularitäten \(\alpha\) und \(\varepsilon\alpha\) mit \(\varepsilon^q = 1\) gibt. Auch wenn die Koeffizienten zu mehreren, etwa \(k\), Restklassen nach einem Modul fehlen, gibt diese Methode Aufschlüsse, wenigstens für einen Primzahlmodul \(q\). An Stelle von (2) tritt dann ein System von mehreren Gleichungen (je mit verschwindender rechter Seite), dessen Auflösung nach den in einem bestimmten Randpunkt \(\alpha\) singulären unter den \(f(\zeta^\nu z)\) ergibt, daß zu jeder Singularität \(\alpha\) auf \(| z | = 1\) \(k\) weitere existieren, die aus \(\alpha\) durch Multiplikation mit \(q\)-ten Einheitswurzeln entstehen. Für diese Auflösung ist ein auch an sich interessanter Satz nötig: Ist \(\zeta\) eine primitive \(q\)-te Einheitswurzel (\(q\) Primzahl), so verschwindet kein Minor der \textit{Vandermonde}schen Determinante \[ \left|\zeta^{ik}\right|\qquad (i,\, k = 0,\,1,\, \ldots,\,q-1). \] Für diesen Satz teilt Verf. einen schönen Beweis mit, den er \textit{Tschebotareff} verdankt. Auch der vorige Satz läßt sich sinngemäß auf mehrere Primzahlmoduln ausdehnen. Für alle diese Sätze wird durch Beispiele belegt, daß sie nicht verschärft werden können.