Sopra l'interpolazione a mezzo di funzioni olomorfe in un semipiano. (Q1450476)

\(F (z) = c_0 + c_1z + c_2z^2 + \cdots\) möge ein Funktionselement der in \[ \lambda <\arg z<2\pi - \lambda \tag{1} \] regulären Funktion sein. Bleibt nun \(|z^{-\alpha} F(z)|\) (\(\alpha\) reell) für \(| z| \to \infty\) innerhalb (1) beschränkt, so wird gezeigt, daß es eine analytische Funktion \(\varphi (s)\) (\(s = \sigma + it\)) gibt, welche folgende Eigenschaften besitzt: 1) \(\varphi(s)\) ist für \(\sigma > \alpha\) regulär, und \(\dfrac1{|s|} \log | \varphi (s) |\) hat endlichen \(\limsup\) in jeder Halbebene \(\sigma \geqq\beta > \alpha\). 2) Auf jeder Geraden \(\sigma =\beta > \alpha\) und für jedes \(\varepsilon > 0\) gilt von einem \(t\) ab \(|\varphi(\beta+it)|< e^{(\lambda+\varepsilon)|t|}\). 3) Es ist \(\varphi(n) = c_n\). Auch der umgekehrte Satz gilt: Erfüllt \(\varphi (s)\) 1), 2), 3), so definiert \(\sum\limits_0^\infty \varphi(n)z^n\) eine in (1) reguläre Funktion, welche in (1) eine Darstellung \(z^\alpha\varepsilon (z)\) mit \(\varepsilon (z) \to 0\) für \(| z|\to \infty\) gestattet. In weniger allgemeiner Form ist letzterer Satz von \textit{Le Roy} und später von \textit{Lindelöf} angegeben worden (s. \textit{Lindelöf}, Le calcul des résidus, Paris 1906 (F. d. M. 36, 468 (JFM 36.0468.*)), 109).