La recherche des points singuliers d'une fonction analytique représentée par une série de puissances. (Q1450479)

Verf. geht von einer Operation von \textit{Hurwitz} und \textit{Agnola}, aus (1899; F. d. M. 30; 362, 363), die aus zwei in der Umgebung von \(x = \infty\) regulären Funktionen \(\xi(x)\) und \(\psi (x)\) eine neue, eben solche erzeugt, für die als Singularitäten nur die Summe \(\alpha +\beta\) der Singularitäten \(\alpha\) von \(\xi\) und \(\beta\) von \(\psi\) in Betracht kommen. Wird \(\xi(x)\) speziell so gewählt, daß es eine einzige Singularität bei \(x = -1\) besitzt -- wie die Potenzreihe bei \(x= 0\) einer solchen Funktion allgemein aussieht, weiß man aus dem Satze von \textit{Wigert} -- so sieht man, daß \(\psi(x)\) eine Singularität an einer der Stellen auf dem Konvergenzkreis haben muß, die vom Konvergenzkreis der mittels \(\xi(x)\) transformierten Funktion in reeller Richtung den Abstand 1 haben. Dieser Grundgedanke wird durchgerechnet. Ein weiterer Satz, der mittels jener Transformation bewiesen wird, besagt, daß eine Funktion \[ a_0 + a_1z + a_2z^2 +\cdots \] mit rationalen Koeffizienten, für die es eine ganze Zahl \(N\) gibt, so daß alle \(a_nN^n\) ganz sind, entweder von der Form \[ \frac{P(z)}{(1-z)^q}\,, \quad P(z)\;\text{Polynom},\;q\;\text{ganz positiv}, \] ist oder noch außerhalb des Kreises mit Radius \(\dfrac1{N+1}\) um \(z = 1\) mindestens eine Singularität besitzt. Daran schließt sich ein an anderer Stelle veröffentlichtes Kriterium für die Transzendenz einer Zahl (1926; F. d. M. 52, 188).